2008中级经济师人力资源管理专业知识与实务试题

2.1.2换元积分法直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法——换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。问题xdx2cos,2sin21Cx解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令xt2,21dtdxxdx2cosdttcos21Ctsin21.2sin21Cx一、第一类换元法（凑微分法）xCx2cos]2sin21[说明结果正确将上例的解法一般化：设),()(ufuF则.)()(CuFduuf如果)(xu（可微）dxxxfxdF)()]([)]([CxFdxxxf)]([)()]([)(])([xuduuf将上述作法总结成定理，使之合法化，可得——换元法积分公式设)(uf具有原函数，dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）)(xu可导，则有换元公式定理1://://注①定理说明：若已知CuFduuf)()(则CxFdxxxf)]([)()]([因此该定理的意义就在于把CuFduuf)()(中的u换成另一个x的可微函数)(x后，式子仍成立——又称为积分的形式不变性这样一来，可使基本积分表中的积分公式的适用范围变得更加广泛。dx②由定理可见，虽然dxxxf)()]([是一整体记号，但可把视为自变量微分)()(xddxx——凑微分③凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积表达式进行变形，主要考虑如何变化dxxf)(凑微分法的基本思路：与基本积分公式相比较，将不同的部分——中间变量和积分变量——变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例1求.2sinxdx解（一）xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx解（二）xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解（三）xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx例2求.231dxx解,)23(23121231xxxdxx231dxxx)23(23121duu121Culn21.23ln21Cxdxbaxf)(baxuduufa])([1一般地例3求.)ln21(1dxxx解dxxx)ln21(1)(lnln211xdx)ln21(ln21121xdxxuln21duu121Culn21.ln21ln21Cx例4求.)1(3dxxx解dxxx3)1(dxxx3)1(11)1(])1(1)1(1[32xdxx221)1(2111CxCx.)1(21112Cxx例5)0(122adxxa解dxaxadxxa222111)(112axdaxCaxarcsin例6求.122dxxa解dxxa221dxaxa222111axdaxa2111.arctan1Caxa例7dxxa221解dxxa221dxxaxa))((1dxxaxaa]11[21Cxaxaa|]|ln||[ln21Cxaxaa||ln21注意：拆项是常用的技巧例8求.25812dxxx解dxxx25812dxx9)4(12dxx13413122341341312xdx.34arctan31Cx例9求.11dxex解dxex11dxeeexxx11dxeexx11dxeedxxx1)1(11xxededx.)1ln(Cexx例10求.)11(12dxexxx解,1112xxxdxexxx12)11()1(1xxdexx.1Cexx例11求.12321dxxx原式dxxxxxxx123212321232dxxdxx12413241)12(1281)32(3281xdxxdx.121213212133Cxx例12求解.cos11dxxdxxcos11dxxxxcos1cos1cos1dxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx或dxxdxx2cos21cos112Cx2tan例13求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sincossin42xxdx)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例14求解.2cos3cosxdxx)],cos()[cos(21coscosBABABA),5cos(cos212cos3cosxxxxdxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx例15求解（一）dxxsin1.cscxdxxdxcscdxxx2cos2sin2122cos2tan12xdxx2tan2tan1xdxCx2tanln.cotcsclnCxx（使用了三角函数恒等变形）解（二）dxxsin1xdxcscdxxx2sinsin)(coscos112xdxxucosduu211duuu111121Cuu11ln21.cos1cos1ln21Cxx解（三）xdxcscdxxxxxxcotcsc)cot(csccscdxxxxxxcotcsccotcsccsc2)cot(csccotcsc1xxdxxCxxcotcsclnCxxcotcscln类似地可推出.tanseclnsecCxxxdxdxxxdxcos1sec)2()2sin(1xdxCxx)]2cot()2ln[csc(Cxxtansecln解例16设求.,cos)(sin22xxf)(xf令xu2sin,1cos2ux,1)(uufduuuf1)(,212Cuu.21)(2Cxxxf例17dxxxxxcossinsincos解（一）分子分母同乘以xxsincosdxxxxxcossinsincosdxxx2cos2sin1)2(2cos2sin21)2(2sec21xdxxxxdCxxx]2cosln2tan2sec[ln21Cx2sin1ln21Cxxsincosln解（二）分子分母和差化积dxxxxxcossinsincosdxxxxxcos)2cos()2cos(cosdxxx)4cos()4sin(Cx|)4cos(|ln解（三）分子恰为分母的导数dxxxxxcossinsincosdxxxxxcossin)cos(sin)cos(sincossin1xxdxxCxx)cosln(sindxxBxAxbxasincossincos)0(22BAdxxBxAxbxasincossincosdxxBxAxBxANxBxAMsincos)sincos()sincos(2222,BAbAaBNBAbBaAMdxxBxAxbxasincossincosCxBxANMxsincosln第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。作业：P78[2.2](2)(3)(7)(9)(10)(16)(17)(19)(20)(30)(35)问题?125dxxx解决方法改变中间变量的设置方法.过程令txsin,costdtdxdxxx251tdtttcossin1)(sin25tdtt25cossin（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法其中)(x是)(tx的反函数.证设为的原函数,)(t)()]([ttf令)]([)(xxF则dxdtdtdxF)()()]([ttf,)(1t设)(tx是单调的、可导的函数，)()()]([)(xtdtttfdxxf则有换元公式并且0)(t，又设)()]([ttf具有原函数，定理2第二类积分换元公式CxFdxxf)()(,)]([Cx)()()]([)(xtdtttfdxxf)]([tf).(xf说明)(xF为)(xf的原函数,例19求解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsecCtttanseclntax22ax.ln22Caaxax2,2tCxax22ln例20求解).0(122adxax令taxsec2,0ttdttadxtansecdxax221dttattatantansectdtsecCtttanseclntax22ax.ln22CaaxaxCaxx22ln说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令;sintax22)2(xa可令;tantax22)3(ax可令.sectax注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。说明(2)积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.例22求dxxx251解21xt令,122tx,tdtxdxdxxx251tdttt221dttt1224Cttt353251.1)348(151242Cxxx例23求解.11dxexxet1令,12tex,122dtttdxdxex11dtt122dttt1111Ctt11ln.11ln2Cxex,1ln2tx.1tx说明(3)当分母的阶较高时,可采用倒代换例24求dxxx)