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【例3】如图12所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动．已知小球所受电场力是其重力的34，圆环半径为R，斜面倾角θ＝60°，BC段长为2R.若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h至少为多少？图12等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法．例如我们学习过的等效电阻、分力与合力、合运动与分运动等都体现了等效思维方法．常见的等效法有“分解”、“合成”、“等效类比”、“等效替换”、“等效变换”、“等效简化”等，从而化繁为简，化难为易．二、利用“等效思想”巧解复合场中的圆周运动问题带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是高中物理教学中一类重要而典型的题型．对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大．若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷．先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝F合m视为“等效重力加速度”．再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即可．下面通过实例分析说明“等效法”在此类问题中的应用．【例3】如图12所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动．已知小球所受电场力是其重力的34，圆环半径为R，斜面倾角θ＝60°，BC段长为2R.若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h至少为多少？图12解析小球所受的重力和电场力都为恒力，故可将两力等效为一个力F，如图所示，可知F＝1.25mg，方向与竖直方向成37°.由图可知，小球能否做完整的圆周运动的临界点是D点，设小球恰好能通过D点，即达到D点时小球与圆环的弹力恰好为零．由圆周运动知F＝mv2DR，即1.25mg＝mv2DR①由动能定理：mg(h－R－Rcos37°)－34mg(hcotθ＋2R＋Rsin37°)＝12mv2D②联立①②两式求得h≈7.7R答案7.7R题后感悟当我们研究某一新问题时，如果它和某一学过的问题类似，就可以利用等效和类比的方法进行分析．用等效法解本题的关键在于正确得出等效重力场，然后再利用对比正常重力场下小球做圆周运动的规律．即学即练3半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m，带正电荷的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图13所示，珠子所受静电力是其重力的34倍，将珠子从环上最低位置A点由静止释放，则：(1)珠子所能获得的最大动能是多大？(2)珠子对环的最大压力是多大？图13解析珠子在运动过程中，受重力和电场力的大小、方向都不发生变化，则重力和电场力的合力大小、方向也不变，这样就可以用合力来代替重力和电场力，当珠子沿合力方向位移最大时，合力做功最多，动能最大．(1)qE＝34mg，所以qE、mg的合力F合与竖直方向夹角的正切tanθ＝qEmg＝34，即θ＝37°，则珠子由A点静止释放后从A到B过程中做加速运动，如右图所示，B点动能最大，由动能定理得qErsinθ－mgr(1－cosθ)＝Ek解得B点动能即最大动能Ek＝14mgr(2)设珠子在B点受圆环弹力为FN，有FN－F合＝mv2r，即FN＝F合＋mv2r＝(mg)2＋(qE)2＋12mg＝54mg＋12mg＝74mg.由牛顿第三定律得，珠子对圆环的最大压力也为74mg.答案(1)14mgr(2)74mg【例4】如图14所示，在真空中，竖直放着一个平行板电容器，在它的两极板间有一个带正电的微粒，质量为m＝8×10－5kg，电荷量q＝6×10－8C．这个微粒在电场力和重力共同作用下，从距负极板0.4m处，由静止开始运动，经0.4s抵达负极板．则：(1)如果两极板相距d＝0.6m，则板间电压是多少？(2)微粒在极板间运动的轨迹是什么形式？微粒通过的路程是多少？(3)在整个过程中，电场力和重力各做了多少功？(g取10m/s2)三、正交分解法处理带电体的复杂运动问题图14解析微粒受电场力和重力共同作用，根据力的独立作用原理，在电场力作用下微粒在水平方向将做初速度为零的匀加速直线运动，在重力作用下微粒在竖直方向将做自由落体运动，微粒在电场中的运动便可以看做是这两个分运动的合运动．电场力和重力均为恒力，所以其合力也是恒定不变的力，又因为微粒的初速度为零，根据运动条件可判定，微粒在电场中运动的轨迹应为直线．(1)依题意，微粒在水平方向是经0.4s加速运动了0.4m而抵达负极板．x＝12at2①a＝qEm②由①②得E＝2mxqt2，U＝Ed＝2mxdqt2＝2×8×10－5×0.4×0.66×10－8×(0.4)2V＝4×103V(2)微粒在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，其轨迹为直线．由图可看出l＝x2＋h2x＝0.4mh＝12gt2＝12×10×(0.4)2m＝0.8m所以l＝0.42＋0.82m≈0.89m(3)电场力所做的功W电＝qU′＝q(xdU)＝6×10－8×0.40.6×4×103J＝1.6×10－4J重力所做的功W重＝mgh＝8×10－5×10×0.8J＝6.4×10－4J.答案(1)4×103V(2)运动轨迹为直线0.89m(3)1.6×10－4J6.4×10－4J答题技巧正交分解法处理带电粒子的复杂运动问题用正交分解法处理带电粒子的复杂运动，它区别于类平抛运动的带电粒子的偏转，它的轨迹常是更复杂的曲线，但处理这种运动的基本思想与处理偏转运动相类似，也就是说，可以将复杂运动分解为两个相互正交的比较简单的直线运动，而这两个直线运动的规律我们是可以掌握的，然后再按运动合成的观点求解相关的物理量．解这种综合题时重要的是分析清楚题目的物理过程，才能找出相应的物理规律．研究两个分运动的合运动是否是直线运动，一般根据运动条件去判断．物体所受合外力方向和初速度方向在一条直线上，物体做直线运动；合外力方向和初速度方向成某一角度，物体将做曲线运动．4．在足够大的真空空间中，存在水平向右方向的匀强电场，若用绝缘细线将质量为m的带正电小球悬挂在电场中，静止时细线与竖直方向夹角为θ＝37°.若将小球从电场中的某点竖直向上抛出，抛出的初速度大小为v0，如图18所示．求小球在电场内运动过程中的最小速度．图18解析如图所示，由小球平衡可知qE＝mg·tan37°＝34mg，把小球在电场中的运动速度分解为水平和竖直分速度vx、vy.小球在水平方向上做初速度为零的匀加速运动，在竖直方向上做匀变速运动．所以vx＝qEm·t＝34gt，vy＝v0－gt.任意时刻小球的速度为v＝v2x＋v2y＝2516g2t2－2v0gt＋v20.当t＝16v025g时，v有最小值，且vmin＝35v0.答案35v0