11.1与三角形有关的线段

第十一章三角形第十一章三角形211.1.1三角形的边34电线杆自行车三角形是一种基本的几何图形，生活中处处都有三角形的形象。为什么在工程建筑、机械制造中经常采用三角形的结构呢？这与三角形的性质有关，虽然我们已对“三角形中三个角的和等于180度”等性质有了初步的了解，但还有必要对三角形的性质作进一步的探究。6读一读阅读课本P1～2，并回答以下问题:(1)什么叫三角形?(2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点?(3)三角形ABC用符号表示________.(4)三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.△ABCc、b、a7边c边b边a顶点A顶点B顶点C角角角围成三角形的每条线段叫做三角形的边。每两条线段的交点叫做三角形的顶点。1、小强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念是（）BACACAB、BC2、如图，三角形ABC记作__________∠B的对边_______∠B邻边是：_______练一练C△ABCADCBE3、图中有三角形，分别是.△ABE,△BCE,△CDE,△ABC,△BCD5个按角分锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分不等边三角形（不规则三角形）等腰三角形三角形的分类：底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形斜三角形如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？ABC路线1:由点B到点C路线2:由点B到点A，再由点A到点C。两条路线长分别是BC，AB+AC.由“两点之间，线段最短”可以得到AB+ACBC同理可得：AC+BCAB，AB+BCAC三角形的三边有这样的关系：结论三角形任意两边之和大于第三边1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）5，4，10（）（2）3，9，11（）（3）3，5，8（）不能能不能判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？思考：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形；若不满足，则不能构成三角形。因此判断三条线段能否组成三角形的方法：较小两边之和大于第三边,才能构成三角形。例：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ABC解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm.由题意得：x+2x+2x=18解得x=3.6所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm.2x2xx例：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？解：（2）因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论，如果4cm长的边为底边，则腰长为xcm，则4xx４+2x=18解得x=7如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm，则2×４+x=18解得x=1044x因为4+4＜10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形。由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰在角形。1、如图所示，图中所有三角形的个数为个，分别是。以∠B为内角的三角形是，以AC为边的三角形是，∠C的对边是.2、在下列各组线段中，能组成三角形的是（）A、2cm，3cm，4cmＢ、2cm，3cm，5cmＣ、3cm，5cm，9cmＤ、8cm，4cm，4cm３、已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边的长可能是（）A、4cmB、5cmC、6cmD、7cm3ABCD△ABD，△ACD，△ABC△ABD，△ABC△ABC，△ADCAB，ADAC4、如果等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，那么它的周长为cm；如果等腰三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么它的周长是.5、若四条线段的长为2cm，3cm，4cm，5cm，以其中三条线段为边长，最多可以构成个三角形。16cm22或203请用所学的数学知识解释：2.两点之间的所有连线中，线段最短1.三角形任意两边之和大于第三边人行横道.A.B为什么经常有行人斜穿马路而不走人行横道？用一用通过本节课的学习，你有哪些收获？1.三角形及其相关概念（边、角、顶点）。2.三角形的表示方法；3.三角形的分类：①按角分类；②按边分类；4.三角形三边关系及运用。判断三条线段能组成一个三角形的简便方法：用较小两边的和与最大边的大小比较。1、已知三角形的三边长分别为4、5，x，则x不可能是（）A、3B、5C、7D、92、一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（）A、14B、15C、16D、173、如图，为了估计池塘边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B两点间的距离不可能是（）A、5米B、10米C、15米D、20米分析:先求出第三边的取值范围，两边之差＜x＜两边之和，当第三边取最小值时，三角形的周长也最小。DBAOAB你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?012345012345画法012345012345012345012345过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?BAC三角形的高A从三角形的一个顶点BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足D之间的线段叫做三角形这边的高，简称三角形的高。如图，线段AD是BC边上的高.012345678910012345012345012345678910012345678910012345012345012345012345三角形高的符号语言：∵AD是△ABC的高∴∠BDA=∠CDA=90°锐角三角形的三条高在纸上画一个锐角三角形(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流锐角三角形的三条高交于同一点.O锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高都在三角形的内部。ABCDEF直角三角形的三条高在纸上画一个直角三角形将你的结果与同伴进行交流.ABC(1)画出直角三角形的三条高直角边BC边上的高是;AB直角边AB边上的高是;CB(2)它们有怎样的位置关系？直角三角形的三条高交于直角顶点.D斜边AC边上的高是;BD●钝角三角形的三条高在纸上画一个钝角三角形（1）画出钝角三角形的三条高FE（2）钝角三角形的三条高交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点（3）它们所在的直线交于一点吗？钝角三角形的三条高所在直线交于一点ABCD小结:三角形的高从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高。三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三角形的三条高所在直线交于一点三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部三角形的中线在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫做这个三角形这边的中线.ABCD∵AD是△ABC的中线∴BD=CD=12BC任意画一个三角形,然后画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么?●●三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.三角形中线的符号语言：EFO三角形的角平分线ABCD∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD=∠CAD=１２∠BAC任意画一个三角形,然后画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?●在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。●三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部︶12ACBFEDO∵BE是△ABC的角平分线∴=_____=21∴∠ACB=2______=2____∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF∵CF是△ABC的角平分线∠BCF角平分线的符号语言三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？思考三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线练一练如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的?ABCDE12FGH①AD是△ABE的角平分线()②BE是△ABD边AD上的中线()③BE是△ABC边AC上的中线()④CH是△ACD边AD上的高()三角形的高、中线与角平分线都是线段×××√拓展练习2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形1.下列各组图形中,哪一组中AD是△ABC的高()ADCBABCDABCDABCD(A)(B)(C)(D)BD练习拓展AFCDAC3.填空：（1）如图1，AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2,BD=,AE=。21图2FEDCBA4321图1FEDCBA（2）如图2，AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1=,∠3=,∠ACB=2。21∠2∠ABC∠4拓展练习CEBC∠CAD∠BAC∠AFC4.填空：如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。（1）BE==；（2）∠BAD==；（3）∠AFB==90°2121FEDCBA拓展练习5.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质()A.是边BB′上的中线B.是边BB′上的高C.是∠BAB′的角平分线D.以上三种性质合一D拓展练习6.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是()A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC,BD=ECD.∠C的对边是DEEDCBAC今天我们学了什么呀？1.三角形的高、中线、角平分线的有关概念及它们的画法。2.三角形的高、中线、角平分线的符号语言及简单应用。将四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗?思考斜梁斜梁直梁三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性四边形不稳定性的应用.说一说在日常生活中三角形稳定性有什么应用？1、下列图形中具有稳定性的是（）（A）正方形（B）长方形（C）直角三角形（D）平行四边形2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？CCBEAFB3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是()A,两点之间线段最短B矩形的对称性C矩形的四个角都是直角D三角形的稳定性D4、下列图中具有稳定性有（）A1个B2个C3个D4个C5.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了()A.节省材料,节约成本B.保持对称C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮C6.人站在晃动的公共汽车上,若你分开两腿站立,则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳,这是利用了7.下列设备,没有利用三角形的稳定性的是()A.活动的四边形衣架B.起重机C.屋顶三角形钢架D.索道支架A8、判断：已知a+bc，则以线段a、b、c为边能够成三角形（）9、如图，已知BM是ΔABC的中线，AB=6，BC=8，那么ΔMBC的周长与ΔABM的周长相差。×2MABC10、如图，在ΔABC中，AE是BAC的平分线，AD是BC的高，且B=50°，C=60°，则EAD的度数是（）EDCBAD（A）35（B）25（C）15（D）511、如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的顶点，那么这个三角形是（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）难以确定C1.通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑吗？2.你对自己本节课的表现满意吗？为什么？