【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2导数的概念课件 新人教A版选修1-1

3．1变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念学习目标1.了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．课堂互动讲练知能优化训练3.1.2课前自主学案课前自主学案温故夯基1．已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AB的斜率kAB＝______________.2．某物体发生的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s＝2t2，那么2秒内的平均速度是_____.y2－y1x2－x1(x1≠x2)4m/s知新益能1．函数的变化率定义实例作用平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为__________，简记作：ΔyΔx.①平均速度；②曲线割线的斜率.刻画函数值在区间________上变化的快慢瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即______________________＝limΔx→0ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.刻画函数值在______附近变化的快慢.fx2－fx1x2－x1[x1，x2]limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δxx0点2.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的___________称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作_________________，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝___________________.瞬时变化率f′(x0)或y′|x＝x0limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx问题探究1．Δx，Δy的值一定是正值吗？提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．2．平均变化率一定为正值吗？提示：平均变化率可正、可负、可为零．课堂互动讲练考点突破求函数的平均变化率求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求ΔyΔx的比值．求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．例1【思路点拨】解答本题先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式求解．【解】函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为：fx0＋Δx－fx0Δx＝[2x0＋Δx2＋1]－2x20＋1Δx＝4x0＋2Δx.当x0＝1，Δx＝12时，平均变化率为4×1＋2×12＝5.互动探究在本例中，分别求函数在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值均为14，问哪一点附近的平均变化率最大？解：由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝14时，函数在[1,1.25]上的平均变化率为k1＝4×1＋2×14＝4.5.当x0＝2，Δx＝14时，函数在[2,2.25]上的平均变化率为k2＝4×2＋2×14＝8.5.当x0＝3，Δx＝14时，函数在[3,3.25]上的平均变化率为k3＝4×3＋2×14＝12.5.∵k1k2k3，∴函数在x＝3附近的平均变化率最大．求物体的瞬时速度求瞬时速度的步骤：(1)设非匀速运动的规律s＝s(t)；(2)求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(3)平均速度v－＝ΔsΔt；(4)瞬时速度：当Δt→0时，ΔsΔt→v(常数)．若一物体运动方程为：s＝3t2＋2，0≤t3，29＋3t－32，t≥3，求此物体在t＝1和t＝3时的速度．例2【思路点拨】t＝1时，s＝3t2＋2；t＝3时，s＝29＋3(t－3)2，分别求出Δs，再由v＝limΔt→0ΔsΔt求得．【解】当t＝1时，s＝3t2＋2，Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝3(1＋Δt)2＋2－(3＋2)＝6Δt＋3(Δt)2，∴v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→06Δt＋3Δt2Δt＝limΔt→0(6＋3Δt)＝6.当t＝3时，s＝29＋3(t－3)2，Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝29＋3(3＋Δt－3)2－29－3(3－3)2＝3(Δt)2，∴v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→03Δt2Δt＝limΔt→0(3Δt)＝0.∴物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度分别是6和0.求函数f(x)在某处的导数求函数f(x)在x0处的导数的基本步骤：(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx；(3)求极限f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．例3【思路点拨】求Δy→求ΔyΔx→求limΔx→0ΔyΔx【解】Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝2Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.【名师点评】利用导数的定义求导数，“三步法”的模式是固定的，关键是要注意在求ΔyΔx时，分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用．方法感悟1．函数f(x)在x0处可导，是指Δx→0时，ΔyΔx有极限．如果ΔyΔx不存在极限，就说函数在点x0处无导数．2．导数是研究在点x0处及其附近函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比的极限，它是一个局部性的概念，即limΔx→0ΔyΔx存在表示是一个定数，函数f(x)在点x0处的导数应是一个定数．