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2.1.3分层抽样2.1.3分层抽样课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标1.理解分层抽样的概念．2．会用分层抽样从总体中抽取样本．3．提高动手实践能力，培养分析问题和解决问题的能力，增强数学应用意识．课前自主学案系统抽样的步骤：(1)编号；(2)分段；(3)确定起始个体编号；(4)按事先制定的规则抽取样本．温故夯基1．分层抽样的概念：将总体中各个个体按某种特征分成若干个___________的部分，每一部分叫做_____，在各层中按_______________________进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．思考感悟系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样，故系统抽样就是一种特殊的分层抽样对吗？知新益能互不重叠层层在总体中所占比例提示：不对．因为分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取是按事先定好的规则进行的，各层编号有联系，不是独立的．故系统抽样不同于分层抽样．2．当总体是由______________________组成时，往往选用分层抽样的方法．3．分层抽样的优点是___________________________，而且在各层抽样时，______________________________差异明显的几个部分使样本具有较强的代表性又可灵活地选用不同的抽样法．课堂互动讲练分层抽样的概念考点突破如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽到的可能性为()例1A.1NB.1nC.nND.Nn【解析】根据每个个体都等可能入样，所以其可能性为样本容量与总体容量比，故选C.【答案】C【名师点评】分层抽样的核心是按比例等可能抽样．在抽样时，各层又是随机抽取的，因此每一个个体被抽到的可能性都是相同的．变式训练1某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为()A．15,5,25B．15,15,15C．10,5,30D．15,10,20解析：选D.因为300∶200∶400＝3∶2∶4，于是将45分成3∶2∶4的三部分．设三部分各抽取的个体数分别为3x,2x,4x，由3x＋2x＋4x＝45，得x＝5，故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为15,10,20，故选D.分层抽样的方法设计例2一个地区共有5个乡镇，人口共3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，应采取什么样的方法？并写出具体过程．【思路点拨】因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而宜采用分层抽样的方法．【解】具体过程如下．第一步：将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．第二步：按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本．300×315＝60(人)，300×215＝40(人)，300×515＝100(人)，300×215＝40(人)，300×315＝60(人)，因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．第三步：将300人组到一起，即得到一个样本．【名师点评】若已知总体是由差异明显的几部分组成，为了使样本能充分反映总体情况，通常按照样本容量与总体容量的比例，合理地将其分配到各层，以确保抽样的科学性．当然在解决具体问题的过程中，一定要结合抽样比，考虑到分配的合理性．变式训练2一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，并写出过程．解：法一：三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取的个体数分别为14,2和4.对112名业务人员按系统抽样分成14个部分，其中每个部分包括8个个体，对每个部分利用简单随机抽样抽取个体．若将160名人员依次编号1,2,3，…，160，那么在1～112名业务人员中第一部分的个体编号为1～8.从中随机抽取一个号码，如它是4号，那么可以从第4号起，按系统抽样法每隔8个抽取1个号码，这样得到112名业务人员被抽出的14个号码依次为4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.同样可抽出的管理人员和后勤服务人员的号码分别为116,124和132,140,148,156.将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．法二：由160÷20＝8，所以可在各层人员中按8∶1的比例抽取，又因为16÷8＝2,112÷8＝14,32÷8＝4，所以管理人员2人，后勤服务人员4人，业务人员14人．以下同法一．三种抽样方法的比较选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程：(1)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；(2)有甲厂生产的两箱篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样；(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样．例3【思路点拨】依据总体的特征信息和各种抽样方法使用范围，灵活选择恰当的抽样方法．【解】(1)总体由差异明显的几个层次组成，需选用分层抽样法．第一步：确定抽取个数．抽取比例为1030＝13，所以甲厂生产的应抽取21×13＝7个，乙厂生产的应抽取9×13＝3个；第二步：用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(2)因为都是由甲厂生产的，所以个体差异较小，且总体容量也比较小，因此用抽签法．第一步：将30个篮球编号，编号为00,01，…，29；第二步：将以上30个编号分别写在一张大小相同的纸条上，揉成小球，制成号签；第三步：把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；第四步：从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；第五步：找出和所得号码对应的篮球组成样本．(3)个体差异较小，总体容量较大，样本容量较小宜用随机数表法．第一步：将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299；第二步：在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“7”开始，任选一个方向作为读数方向，比如向右读；第三步：从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在000～299中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到286,211,234,297,207,013,027,086,284,281这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．(4)个体差异较小，总体容量较大，样本容量也较大宜用系统抽样法．第一步：将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并按号码顺序分成30段，每段10个编号；第二步：在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；第三步：将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，组成样本．【名师点评】在解决问题的过程中，应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法．变式训练3一个单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，按下述三种方法：方法1：将160人从1至160编上号，然后用白纸做成形状、大小相同1～160号的签160个放入箱内拌匀，然后从中抽20个签，与签号相同的20个人被选出．方法2：将160人从1到160编上号，按编号顺序分成20组，每组8人，1～8号，9～16号，…，153～160号，先从第1组中用抽签方法抽出k号(1≤k≤8)，其余组的(k＋8n)号(n＝1,2，…，19)亦被抽到，如此抽取到20人．方法3：按20∶160＝1∶8的比例，从业务人员中抽取12人，从管理人员中抽取5人，从后勤服务人员中抽取3人，都用随机数表法从各类人员中抽取所需的人数，他们合在一起恰好抽到20人．上述三种抽样方法，按简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是()A．方法1、方法2、方法3B．方法2、方法1、方法3C．方法1、方法3、方法2D．方法3、方法1、方法2解析：选C.抽签法是简单随机抽样的一种常用方法，显然方法1用的是抽签法；方法2是按一定间隔均分成几组，按一定规则从每组中抽取一个个体，这是系统抽样；方法3是从三类不同职工中按一定比例抽取，这是分层抽样．方法感悟分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．用该法抽取的样本具有较强的代表性．在各层进行抽样时，采用了简单随机抽样或系统抽样，它仍是一种等可能抽样，每个个体被抽到的可能性均为nN.