【优化方案】2012高中数学-第2章2.1.4两条直线的交点课件-苏教版必修2

2．1.4两条直线的交点学习目标1.了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；2．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．课堂互动讲练知能优化训练2.1.4两条直线的交点课前自主学案课前自主学案温故夯基1．直线方程的一般形式：_________________________________．2．不重合的直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.若l1∥l2，则________，若l1⊥l2，则_____________.3．二元一次方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解法：________、_________．k1＝k2k1·k2＝－1代入法消元法Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)知新益能1．两直线的位置关系与二元一次方程组的关系设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的_________；反之，如果这两个二元一次方程只有______公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1与l2的交点．公共解一组思考感悟1．若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交于一点？提示：不一定．两条直线是否交于一点，取决于联立两条直线方程所得的方程组是否有惟一解．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．2．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解交点两直线位置关系方程系数特征无解两直线____交点平行A1B2＝A2B1B1C2≠B2C1有惟一解两条直线_________交点相交A1B2≠A2B1有无数个解两条直线有______个交点重合A1B2＝A2B1B2C1＝B1C2无有一个无数思考感悟2.A1B2－A2B1≠0是两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的条件，为什么？提示：由A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0消去y，得(A1B2－A2B1)x＝C2B1－C1B2，当A1B2－A2B1≠0时，方程组有惟一解，则直线l1与l2相交．3．过两条直线交点的直线系方程若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包含直线l2)或(A2x＋B2y＋C2)＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0(不包含直线l1)(其中λ为常数)．课堂互动讲练两直线位置关系的判断考点突破在平面解析几何中，判断两条直线的位置关系,可以根据两条直线方程组成的方程组的解的情况,也可以根据斜率，也可以根据两条直线方程的系数比．例1判定下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标．(1)l1：2x－y＝7，l2：4x＋2y＝1；(2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝x3＋23；(3)l1：(2－1)x＋y＝3，l2：x＋(2＋1)y＝2.【思路点拨】通过方程研究两直线的位置关系，只需研究两条直线对应的二元一次方程组的解的个数．【解】(1)解方程组2x－y＝7，4x＋2y＝1，得x＝158，y＝－134.∴两直线交点坐标为(158，－134)．(2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝x3＋23，即l2：x－3y＋2＝0.∵21＝－6－3＝42，∴两直线重合．(3)法一：∵k1＝1－2，k2＝－12＋1＝－(2－1)＝1－2.∴k1＝k2.又b1＝3，b2＝22＋1，b1≠b2，∴l1∥l2.法二：解方程组2－1x＋y＝3，①x＋2＋1y＝2，②由①得y＝3－(2－1)x，代入②得x＋(2＋1)[3－(2－1)x]＝2.整理，得3(2＋1)＝2，不成立．∴方程组无解．∴直线l1∥l2.【名师点评】根据两条直线的方程组成的方程组的解的情况判断两条直线的位置关系，但如果能够敏锐地察觉两条直线方程系数上的对应关系，解决两条直线的平行与垂直的相关问题，可谓事半功倍．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．过两直线交点的直线方程对于此类问题，如果采用过两直线交点的直线系方程求解，可以避免求两直线的交点,从而简化运算．例2【思路点拨】解答本题有两种方法：一是常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求斜率；二是采用过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直关系求待定系数．【解】法一：解方程组x－2y＋4＝0x＋y－2＝0得P(0,2)．因为l3的斜率为34，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－43，由斜截式可知l的方程为y＝－43x＋2，即4x＋3y－6＝0.法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0,即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，解得λ＝11，∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.【名师点评】直线系是直线和方程的理论发展,是数学符号语言中一种有用的工具和解题技巧，应注意掌握和应用．变式训练1求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．解：法一：由方程组2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0，得x＝－35，y＝－75.∵直线l和直线3x＋y－1＝0平行，∴直线l的斜率k＝－3.∴根据点斜式有y－－75＝－3x－－35.即所求直线l的方程为15x＋5y＋16＝0.法二：∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，∴可设直线l的方程为：2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行，∴λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112.从而所求直线l的方程为15x＋5y＋16＝0.(本题满分14分)当k(k＞0)为何值时，l1：y＝kx＋3k－2与l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限？利用交点的坐标，由不同的条件转化为参数的有关不等式，解不等式求解．与相交有关的取值范围问题例3【思路点拨】要使两直线的交点在第一象限，可以解两直线的方程组成的方程组，求出交点坐标，让横坐标大于0，纵坐标大于0，然后解不等式组即得k的范围，也可数形结合快速求解，避免求交点坐标．【规范解答】法一：解方程组y＝kx＋3k－2，x＋4y－4＝0，得x＝12－12k4k＋1，y＝7k－24k＋1.6分又两条直线的交点在第一象限，所以x＝12－12k4k＋1＞0，y＝7k－24k＋1＞0，解得27＜k＜1.12分所以当27＜k＜1时，两条直线的交点在第一象限.14分法二：如图所示，设直线l2与x轴、y轴的交点分别为B，C，则其坐标分别为(4,0)，(0,1).4分而方程y＝kx＋3k－2可以变形为：y＋2＝k(x＋3)，表明这是一个过定点A(－3，－2)的直线系．若交点P在第一象限，则点P在线段BC上，而直线AP的斜率k需满足kAB＜k＜kAC.8分而kAB＝0－－24－－3＝27，kAC＝1－－20－－3＝1，所以27＜k＜1.14分【名师点评】法二是用直线系方程结合数形结合法求解，数形结合法所起的作用是代数运算往往达不到的．变式训练2已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．解：由x＋y－3m＝0，2x－y＋2m－1＝0，得x＝m＋13，y＝8m－13，∴交点为M(m＋13，8m－13)．∵交点在第四象限，∵m＋130，8m－130，解得－1m18.故m的取值范围是(－1，18)．方法感悟1．根据解的个数判断两直线的位置关系，在解方程时，要先观察方程系数，解出方程组解的个数，若方程组有惟一解,则两直线相交；若方程组无解,则两直线平行；若方程组有无数多个解，则两直线重合．也可根据直线的斜率和截距的关系判断直线的位置关系．2．利用直线系方程求过两直线交点的直线方程时,可设直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.注意应单独验证A2x＋B2y＋C2＝0的情况．3．三条直线能构成三角形的条件是两两相交且不共点．