【优化方案】2012高中数学-第2章2.1数列的概念与简单表示法课件-新人教A版必修5

2．1数列的概念与简单表示法学习目标1.通过实例，了解数列的概念．2．理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型，了解数列的几种分类．3．理解数列的通项公式、数列的递推公式和数列与函数的关系．课堂互动讲练知能优化训练2.1数列的概念与简单表示法课前自主学案1．前5个正整数的倒数排成一列：_____________2．函数的基本表示方法有________、_______和_________.3．集合的列举法的一般形式为{a，b，c，d，…}；集合的元素具有_________、_______、_______．课前自主学案温故夯基解析法列表法图象法确定性互异性无序性1，12，13，14，15.知新盖能1．数列及其有关概念(1)数列：按照一定_____排列着的一列数称为数列．(2)项：数列中的__________叫做这个数列的项，第1项通常也叫做______，若是有穷数列，最后一项也叫做________顺序每一个数首项末项．1．两个数列相同应满足什么条件？提示：两个数列相同必须同时满足两个条件：①两个数列中各数相同；②各数的排列次序相同．思考感悟2．数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为_____，这里n是_____3．数列的分类(1)按项的个数分类{an}项数．类别含义____数列项数有限的数列____数列项数无限的数列有穷无穷(2)按项的变化趋势分类类别含义递增数列从第2项起，每一项都____它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都____它的前一项的数列常数列各项_____的数列摆动数列从第2项起，有些项_____它的前一项，有些项小于它的前一项的数列大于小于相等大于4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的_________序号n通项公式．思考感悟2．是否所有的数列都有通项公式？提示：不是．数列的通项公式实际就是相应函数的解析式，并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．5．数列的递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项____(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的____公式．an－1递推课堂互动讲练考点突破用观察法求数列的通项公式根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列的构成规律．为了发现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应的项上，这样便于突出第n项an与项数n的关系，即突出an如何用n表示．写出以下各数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数：(1)12，2，92，8，252，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)a，b，a，b，a，b，…；(4)9,99,999,9999，….例1【思路点拨】分析各项与对应序号间的关系→归纳、猜想→得关系式→验证是否合适【解】(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为an＝n22.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数；考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．(3)这是个摆动数列，可寻找其摆动平衡位置与摆动振幅．平衡位置：a＋b2，振幅：a－b2，用(－1)n或(－1)n＋1去调节，则an＝a＋b2＋(－1)n＋1a－b2.(4)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1.【名师点评】此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法来解决．数列通项公式的应用(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？例2【思路点拨】令n＝4，n＝6求a4，a6→分别令an＝－49和68列方程→解方程求n→作出判断【解】(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60.(2)设3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝73(舍去)．∴n＝7，即－49是该数列的第7项．设3n2－28n＝68，解得n＝343或n＝－2.∵343∉N*，－2∉N*，∴68不是该数列的项．互动探究若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？解：(1)∵an＝3n2－28n，∴a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.(2)设3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－23(舍去)．∵n∈N*，∴20是该数列的第10项．数列的函数性质数列是一种特殊的函数，函数问题的解决方法同样适用于数列问题，不过要注意n∈N*，否则易出现错误．已知数列{an}的通项公式为an＝n2n2＋1.求证：此数列为递增数列．例3【思路点拨】可通过证an＋1－an＞0来证明结论．【证明】an＋1－an＝n＋12n＋12＋1－n2n2＋1＝n＋12n2＋1－n2[n＋12＋1][n＋12＋1]n2＋1＝2n＋1[n＋12＋1]n2＋1，由n∈N*，得an＋1－an＞0，即an＋1＞an.∴数列{an}是递增数列．变式训练1若数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.试问n为何值时，an有最小值？并求出最小值．解：∵an＝n2－5n＋4＝(n－52)2－94，可知对称轴方程为n＝52＝2.5.又因n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.递推公式的应用递推公式与通项公式一样，是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数去替换递推公式中的n，便可求出数列中的各项．但并不是所有数列都有递推公式，有的数列的递推公式也未必唯一．已知数列{an}满足条件：a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．【思路点拨】题中的两个数列都是用递推公式给出的，已知a1可递推出a2，…，依此类推，可求出它的任意一项．【解】∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1，a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4，a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9，a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.例4【名师点评】根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．变式训练2设数列{an}，a1＝0，an＋1＝1＋an3－an，写出数列的前4项，并归纳出该数列的一个通项公式．解：a1＝0，a2＝1＋a13－a1＝13，a3＝1＋a23－a2＝1＋133－13＝12，a4＝1＋a33－a3＝1＋123－12＝35.直接观察可以发现a3＝12可写成a3＝24，这样可知an＝n－1n＋1(n≥2)．当n＝1时，1－11＋1＝0＝a1，所以an＝n－1n＋1.1．数列与函数的联系数列是特殊的函数，从函数观点看，数列可以看成是以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，其图象为一组离散的点．方法感悟2．数列的通项公式和递推公式通项公式、递推公式是反映数列内在规律的重要公式，但并不是所有的数列都有通项公式或递推公式．如果一个数列仅仅给出前面有限的几项，那么得到的通项公式或递推公式并不是唯一的，只要符合这几项的公式都可以．通项公式与递推公式对比表如下：不同点相同点通项公式给出n的值，可求出数列中的第n项an可确定一个数列，求出数列中的任意一项递推公式由首项(或前几项)的值，通过一次(或多次)运算，逐步地求出第n项an