【优化方案】2012高中数学-第2章2.2.1圆的方程课件-苏教版必修2

2．2圆与方程2．2.1圆的方程学习目标1.掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；2．掌握圆的一般方程并能由圆的一般方程写出圆心的坐标和圆的半径；3．能运用待定系数法求圆的方程．课堂互动讲练知能优化训练2.2.1圆的方程课前自主学案课前自主学案温故夯基1．圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合．定点是_____，定长是_____．2．A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝_____________________.x2－x12＋y2－y12圆心半径知新益能1．圆的标准方程思考感悟1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一个圆吗？为什么？提示：未必表示圆．当r≠0时，表示圆心为(a，b),半径为|r|的圆；当r＝0时，表示一个点(a，b)．2．圆的一般方程(1)圆的一般方程形式为_______________________,它可以配方化为2＋2＝______________________________.①当D2＋E2－4F＞0时，表示以____________为圆心，_______________为半径的圆；x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4－D2，－E212D2＋E2－4F②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D2，y＝－E2，即只表示一个点__________；③当D2＋E2－4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(2)圆的一般方程的特点圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：①x2和y2的系数______，且不等于0；②没有_____这样的二次项．相等xy－D2，－E2思考感悟2．方程2x2＋2y2－4x－3y－1＝0表示圆吗？若表示圆，其圆心和半径分别是什么？提示：方程2x2＋2y2－4x－3y－1＝0可化为x2＋y2－2x－32y－12＝0，则(－2)2＋(－32)2－4×(－12)＝3340，所以该方程表示圆，其圆心是(1，34)，半径为12－22＋－322－4×－12＝1433.3．点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系有三种：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．(2)设点P到圆心距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置有如表所示的对应关系位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的关系drd＝rdr(3)已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0点M在圆上x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0课堂互动讲练圆的标准方程考点突破若已知条件中包含圆的几何性质(含有“圆心”“半径”“切线”“切点”“弦长”等关键词)，则一般应选用圆的标准方程，其解题关键在于寻求该圆的圆心与半径．例1(本题满分14分)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．【思路点拨】解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解．【规范解答】法一：设点C为圆心．∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a).2分又∵该圆经过A、B两点，∴CA＝CB.4分∴2a＋3－22＋a＋32＝2a＋3＋22＋a＋52，解得a＝－2.8分∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝10.12分故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.…14分法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，2分由条件知2－a2＋－3－b2＝r2－2－a2＋－5－b2＝r2a－2b－3＝0，6分解得a＝－1b＝－2r2＝10，10分故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.…14分【名师点评】本题的两种解法各有优劣．法一采用圆的定义；法二采用待定系数法构造方程，此解法是通法，但计算量较大，要注意计算的准确性．变式训练1求圆心在x轴上,且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程．解：法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)．则b＝05－a2＋2－b2＝r23－a2＋－2－b2＝r2，解得a＝4b＝0r＝5.∴所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5.法二：∵圆过A(5,2)、B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的中垂线上．AB中垂线的方程为y＝－12(x－4)，令y＝0，得x＝4，即圆心坐标为C(4,0)，∴r＝CA＝5－42＋2－02＝5，∴所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5.圆的一般方程若已知条件与圆心、半径无直接关系，一般用圆的一般方程，再用待定系数法求出系数D、E、F.已知△ABC的三个顶点为A(10,13)、B(2，－3)、C(－2,1),若AB、BC、AC的中点分别为P、Q、R，求过P、Q、R三点的圆的方程．例2【思路点拨】分别求出P、Q、R的坐标，设出圆的一般方程求解．【解】因为A(10,13)、B(2，－3)、C(－2,1)，所以P(6,5)、Q(0，－1)、R(4,7)，设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，把点P、Q、R的坐标代入此方程可得62＋52＋6D＋5E＋F＝0，－12－E＋F＝0，42＋72＋4D＋7E＋F＝0，解得D＝－4，E＝－6，F＝－7，所以过P、Q、R三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y－7＝0.【名师点评】本题是由圆上的三点确定圆，由于用一般式求圆的方程运算较复杂，故运算时一定要一丝不苟、确保无误．变式训练2已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)．求其外接圆的一般方程式．解：法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由题意可得－D＋5E＋F＋26＝0－2D－2E＋F＋8＝05D＋5E＋F＋50＝0，解得D＝－4E＝－2F＝－20.故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.法二：由题意可求得弦AC的中垂线方程为x＝2，BC的中垂线方程为x＋y－3＝0.由x＝2x＋y－3＝0，解得x＝2y＝1.∴圆心P的坐标为(2,1)，圆半径r＝AP＝2＋12＋1－52＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.即x2＋y2－4x－2y－20＝0.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0),B(1,0)，点P在圆上运动，求d＝PA2＋PB2的最值及相应的点P的坐标．灵活选择圆的两种方程，同时结合数形结合的思想能有效找到解题的捷径．圆的方程的综合应用例3【思路点拨】设出点P的坐标，将PA2＋PB2转化为关于点P坐标的关系式，然后利用点P在圆上的性质求解．【解】设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y20＋(x0－1)2＋y20＝2(x20＋y20)＋2.设μ＝x20＋y20，则μ的几何意义是圆上的点和原点的距离的平方．作直线OC，交圆于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∴μ的最大值是(OC＋1)2＝36，∴d的最大值是74；同理：μ的最小值是(OC－1)2＝16，∴d的最小值是34.又直线OC的方程是y＝43x，代入圆的方程取得最小值的点P(125，165)，取最大值的点P(185，245)．【名师点评】由于圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，因此涉及圆上的点的问题可转化为与圆的圆心及半径有关的问题来处理．方法感悟1．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，充分利用圆的几何性质，可以大大简化计算的过程与难度．2．求圆上一点到某点、某线等的距离，一般先求出圆心到点或线的距离，再加上(或减去)半径，便得所求距离．