【优化方案】2012高中数学-第2章2.2.1等差数列的概念及通项公式课件-新人教A版必修5

2．2等差数列2．2.1等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．课堂互动讲练知能优化训练2.2.1等差数列的概念及通项公式课前自主学案课前自主学案温故夯基1．数列{an}的前4项为0,2,4,6，则其一个通项公式为____________2．数列{an}的通项公式是指：____与_____之间的函数关系，而递推公式体现的是___与___之间的等量关系．an＝2(n－1)．项an项数n项项1．等差数列的定义如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个______叫做等差数列的公差，通常用字母___表示．知新盖能二同一常数常数d1．等差数列都是递增数列吗？提示：不一定，只有d＞0，才是递增数列．思考感悟2．等差数列的递推公式与通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，填表：递推公式通项公式___________＝d(n≥2)an＝____________an－an－1a1＋(n－1)d3.等差中项在由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做a与b的等差中项．这三个数满足关系式a＋b＝____2A.2．任何两个实数都有等差中项吗？提示：都有等差中项．思考感悟课堂互动讲练考点突破等差数列的通项公式等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an.如果知道了其中任意三个数，就可以求出第四个数，这种可行性与求出未知数的过程可以称为“知三求一”．有时是用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值，也可以求出这个等差数列其它未知数的值．已知{an}是等差数列，根据下列条件求它的通项公式：a5＝－2，a9＝6.【思路点拨】由条件列方程求得其首项与公差，即可由公式写出通项公式．【解】由题意知：a5＝－2，a9＝6，则a1＋4d＝－2，a1＋8d＝6，解方程得a1＝－10，d＝2.所以数列{an}的通项公式为an＝－10＋2(n－1)＝2n－12.例1【名师点评】根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，由已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而写出数列的通项公式．互动探究在本例中，若条件改为“已知a5＝11，an＝1，d＝－2”，如何求n?解：由a5＝11，an＝1，得a1＋4d＝11a1＋n－1d＝1，∴a1＋4×－2＝11a1＋n－1×－2＝1，解得n＝10.等差中项若a、A、b成等差数列，即A＝a＋b2，则A就是a与b的等差中项，若A＝12(a＋b)时，则a、A、b成等差数列，这是判定三个数成等差数列的条件．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．例2【解】∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项．∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.【思路点拨】可利用等差中项先求得b，再依次使用等差中项求得a，c.等差数列的判定与证明根据等差数列的定义可知，一个数列是否为等差数列，要看任意相邻两项的差是否为同一常数，要判断一个数列为等差数列，需证明an＋1－an＝d(d为常数)对n∈N*恒成立，若要判断一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即可．已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2.(1)数列{1an}是否为等差数列？说明理由；(2)求an.例3【思路点拨】将递推公式变形，然后按等差数列的定义判定．【解】(1)数列{1an}是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝2anan＋2，∴1an＋1＝an＋22an＝12＋1an，∴1an＋1－1an＝12，即{1an}是首项为1a1＝12，公差为d＝12的等差数列．(2)由(1)可知1an＝1a1＋(n－1)d＝n2，∴an＝2n.【名师点评】判断一个数列是否为等差数列的方法有以下几种：(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}为等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列．(3)通项法：an＝kn＋b(k、b为常数)⇔{an}是等差数列．警示：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)对任意n∈N＋都要恒成立，不能几项成立便说{an}为等差数列．变式训练已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是否为等差数列？解：法一：由题意可知，an＝a1＋(n－1)d(a1、d为常数)，则bn＝3an＋4＝3[a1＋(n－1)d]＋4＝3a1＋3(n－1)d＋4＝3dn＋3a1－3d＋4.由于bn是关于n的一次函数(或常值函数，d＝0时)，故{bn}是等差数列．法二：根据题意知bn＋1＝3an＋1＋4，∴bn＋1－bn＝3an＋1＋4－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d(常数)．由等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列．1．等差数列定义的理解(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件．(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．方法感悟2．等差数列与一次函数的关系等差数列一次函数解析式an＝kn＋b(n∈N*)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同点定义域为N*，图象是一系列均匀分布的孤立的点(在同一直线上)定义域为R，图象为一条直线相同点其通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次式(公差d不为0时)3.等差数列的通项公式可以解决以下三类问题(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量；(2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差数列{an}中的任一项，也可以判断某一个数是否是该数列中的项；(3)若已知{an}的通项公式是关于n的一次函数或常函数，则可判断{an}是等差数列．