【优化方案】2012高中数学-第2章2.2.3圆与圆的位置关系课件-苏教版必修2

2．2.3圆与圆的位置关系学习目标1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法；2．会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断；3．能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题.课堂互动讲练知能优化训练2.2.3圆与圆的位置关系课前自主学案课前自主学案温故夯基1．圆的方程：(1)标准方程：___________________________．(2)一般方程：__________________________(D2＋E2－4F0)．2．直线与圆的位置关系：_______、_______、______．(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相切相交相离知新益能1．平面内两圆的位置关系有五种，即______、______、______、______、______．2．圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：外离外切相交内切内含位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1＋r2d＝r1＋r2|r1r2|d______d＝|r1－r2|d_______r1＋r2|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程Δ0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ0⇒外离或内含思考感悟1．两圆没有交点，一定外离吗？提示：不一定．两圆内含时也没有交点．思考感悟2．将两个相交的圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？提示：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．课堂互动讲练两圆位置关系的判定考点突破判定圆与圆的位置关系时，通常用几何法，即转化为判断圆心距与两圆半径的和与差之间的大小关系．例1a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)外切；(2)相交；(3)外离．【思路点拨】化成标准方程―→求圆心和半径―→求圆心距―→列不等式或方程―→求解【解】将两圆方程写成标准方程．C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.(2)当1d5，即12a2＋6a＋525时，两圆相交，此时－5a－2或－1a2.(3)当d5，即2a2＋6a＋525时，两圆外离，此时a2或a－5.【名师点评】(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；②计算两圆圆心的距离d；③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法断定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．与两圆相切有关的问题两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则两圆相切内切⇔O1O2＝|r1－r2|外切⇔O1O2＝r1＋r2.(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)．在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算．已知圆O1：x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0和圆O2：x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，求圆O1、圆O2的公切线方程．例2【思路点拨】首先判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解．【解】圆O1的圆心坐标为O1(－1，－3)，r1＝1，圆O2的圆心坐标为O2(3，－1)，r2＝3，则O1O2＞r1＋r2，∴两圆外离，有四条公切线．当斜率存在时，设公切线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.则|－k＋3＋b|k2＋1＝1，|3k＋1＋b|k2＋1＝3.两式相除得|3k＋1＋b|＝3|－k＋3＋b|，化简得b＝3k－4或b＝－52，当b＝3k－4时，代入|－k＋3＋b|k2＋1＝1，得|2k－1|＝k2＋1，解得k＝0或43，即当k＝0时，b＝－4，当k＝43时，b＝0，此时公切线方程为y＋4＝0或4x－3y＝0.当b＝－52时，代入|－k＋3＋b|k2＋1＝1，得－k＋12＝k2＋1.解得k＝－34，此时公切线方程为3x＋4y＋10＝0.当斜率不存在时，直线x＝0与两圆也相切，综上所述，所求的公切线方程为y＋4＝0或4x－3y＝0或x＝0或3x＋4y＋10＝0.【名师点评】(1)对于求切线问题，注意不要漏解,主要是根据几何图形来判断切线的条数．(2)求公切线的一般步骤是：①判断公切线的条数；②设出公切线的方程；③利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值；④验证特殊情况的直线是否为公切线；⑤归纳总结．变式训练1一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于点M(3，－3)，求该圆的方程．解：已知圆方程化为(x－1)2＋y2＝1，其圆心P(1,0)，半径为1.设所求圆的圆心为C(a，b)，则半径为a－32＋b＋32，因为两圆外切，|PC|＝1＋a－32＋b＋32，从而a－12＋b2＝1＋a－32＋b＋32.①又所求圆与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)，∴直线CM⊥l，kCM·kl＝－1，于是－13·b＋3a－3＝－1，即b＝3a－43.②将②代入①化简，得a2－4a＝0，∴a＝0或a＝4.当a＝0时，b＝－43，所求圆的方程为x2＋(y＋43)2＝36；当a＝4时，b＝0，所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.(1)若两圆相交，只要x2，y2的系数对应相等，两圆方程作差所得方程即为两圆公共弦所在直线方程；(2)若求两圆公共弦长，则①利用两圆方程组成的方程组求得两交点的坐标，再利用两点间距离公式即可；②利用圆心到公共弦所在直线的距离及勾股定理也可求得公共弦长．与两圆相交有关的问题(本题满分14分)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)求两圆公共弦的方程及其长度；(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程．【思路点拨】(1)先求出公共弦所在直线的方程，再利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形求解；(2)求出圆心、半径，也可用经过两圆交点的圆系方程求解．例3【规范解答】(1)两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即公共弦所在的直线方程，3分又圆C2的圆心C2(－1，－1)到公共弦的距离d＝|－1＋2＋4|5＝5，且d2＋(l2)2＝r22(l为公共弦长)，6分∴l＝2r22－d2＝25，即公共弦长为25.8分(2)连心线C1C2的方程为2x＋y＋3＝0，10分它与公共弦的交点(－2,1)即为所求圆的圆心，…12分又所求圆半径为l2＝5，∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.14分【名师点评】涉及圆的弦问题，一般都考虑利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形求解．而不采取求出弦的两端点坐标，然后利用两点间的距离求解．变式训练2求过直线l：2x＋y＋4＝0与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点且分别满足下列条件的圆的方程．(1)过原点；(2)有最小面积．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋1＋4λ＝0.(1)因为此圆过原点，∴1＋4λ＝0，λ＝－14.所以所求圆的方程为x2＋y2＋32x－174y＝0.(2)当半径最小时，圆面积也最小，对原方程左边配方得：[x＋(1＋λ)]2＋(y＋λ－42)2＝54(λ－85)2＋45∴当λ＝85时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为(x＋135)2＋(y－65)2＝45.方法感悟1．判断两个圆的位置关系常用两圆心距d与两圆半径的和、差比较大小．d＝R＋r时,两圆外切；d＝|R－r|时，两圆内切；d|R－r|时，两圆内含；d|R＋r|时，两圆相离；|R－r|dR＋r时，两圆相交．2．(1)公共弦长的求法：①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长；②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半径长、弦心距构成的直角三角形，用勾股定理求出弦长；(2)公共弦所在直线方程的求法：用两圆方程相减,所得直线方程即为两圆公共弦所在直线方程；(3)重要结论：两圆公共弦所在直线是两圆圆心连线的垂直平分线．