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本章优化总结专题探究精讲本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲圆锥曲线的定义题型特点：对圆锥曲线定义的考查多以选择题和填空题形式出现，一般难度相对较小，若想不到定义的应用，计算量将会加大．解题时应注意应用．知识方法：(1)平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)的点P的轨迹叫做椭圆，定义可实现椭圆上的点到两焦点的距离的相互转化．(2)平面内满足||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线，|PF1|－|PF2|＝2a(2a|F1F2|)表示焦点F2对应的一支，定义可实现双曲线上的点到两焦点的距离的相互转化．(3)平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定义可实现抛物线上的点到焦点与到准线距离的相互转化.(2010年高考辽宁卷)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．16例1【解析】如图所示，直线AF的方程为y＝－3(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,43)．设P(x0,43)，代入抛物线方程y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，∴|PF|＝x0＋2＝8，选B.【答案】B圆锥曲线的性质题型特点：有关圆锥曲线的焦点、离心率等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解.知识方法：圆锥曲线的简单几何性质(1)圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件.(2)椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心,抛物线只有一条对称轴．(3)椭圆有四个顶点，对曲线有两个顶点，抛物线只有一个顶点．(4)双曲线焦点位置不同，渐近线方程不同．(5)圆锥曲线中基本量a，b，c，e，p的几何意义及相互转化．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为2c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率等于()A.2－22B.22－12C.3－1D.2－1例2【解析】当x＝c时，由c2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2a，所以2c＝b2a＝a2－c2a＝a－c2a.因此，2ca＝1－c2a2⇒e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±2.因为0e1.所以e＝2－1，故选D.【答案】D直线与圆锥曲线的位置关系题型特点：近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等.知识方法：与圆锥曲线有关的最值问题大多是综合性、解法灵活、技巧性强、涉及代数、几何等知识的题目，常用的解决方法有两种，一是几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；二是代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先列出函数关系式，再求这个函数的最值．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M、N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．例3【解】(1)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2＝1，则右焦点F(a2－1，0)，由题设|a2－1＋22|2＝3，解得a2＝3，故所求椭圆的方程为x23＋y2＝1.(2)设P为弦MN的中点，由y＝kx＋mx23＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0.由于直线与椭圆有两个交点，∴Δ0，即m23k2＋1①∴xP＝xM＋xN2＝－3mk3k2＋1，从而yP＝kxP＋m＝m3k2＋1，∴kAP＝yP＋1xP＝－m＋3k2＋13mk，又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，则－m＋3k2＋13mk＝－1k，即2m＝3k2＋1②把②代入①得2mm2，解得0m2，由②得k2＝2m－130，解得m12，故所求m的取值范围是(12，2)．圆锥曲线中的定点、定值、最值问题题型特点：圆锥曲线中的最值、取值范围问题既是高考的热点问题，也是难点问题，解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系，根据目标函数和不等式求最值、取值范围，因此这类问题的难点就是如何建立目标函数和不等关系．知识方法：圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴,双曲线的虚、实轴；抛物线的焦点等．可通过直接计算而得到．另外还可用“特例法”和“相关曲线系法”．圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题．这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，三角函数有界性，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决．特别注意函数思想，观察分析图形特征，利用数形结合等思想方法．如图所示，过抛物线y2＝2px的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点．求△AOB面积的最小值．例4【解】设直线AB的方程为y＝k(x－a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程y2＝2px，y＝kx－a，消去x得ky2－2py－2pak＝0，则y1y2＝－2pa.又OA⊥OB.∴y1y2＝－x1x2.由方程组消去y，得k2x2－(2k2a＋2p)x＋k2a2＝0，则x1·x2＝a2.因此，a2＝2pa.∴a＝2p.故直线AB过定点(2p,0)．∴S△AOB＝S△AOM＋SBOM＝12|OM|(|y1|＋|y2|)≥p(2|y1y2|)．又y21＝2px1，y22＝2px2，∴(y1y2)2＝4p2x1x2.又∵y1y2＝－x1x2，于是|y1y2|＝4p2.故S△AOB的最小值为4p2.曲线的方程题型特点：求动点轨迹方程是常见题型，高考中多以解答题的某一问出现，其难度为中等，大多试题的轨迹方程求不出来或出错，将无法解决其他问题．知识方法：求曲线方程是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法有：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y),根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式.(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点.具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法:如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．例5【解】法一：(直接法)设B点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2＝1，如图所示，即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中点B的轨迹方程为(x－12)2＋y2＝14(去掉原点)．法二：(几何法)设B点坐标为(x，y)，由题意知CB⊥OA，OC的中点记为M(12，0)，如法一中图，则|MB|＝12|OC|＝12，故B点的轨迹方程为(x－12)2＋y2＝14(去掉原点)．法三：(代入法)设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x，y)，由题意得x＝x12y＝y12，即x1＝2xy1＝2y.又因为(x1－1)2＋y21＝1，所以(2x－1)2＋(2y)2＝1.即(x－12)2＋y2＝14(去掉原点)．