多维随机变量及其概率分布

概率论本章要求多维随机变量的概念随机变量的独立性两个随机变量的函数的分布第三章多维随机变量及其概率分布概率论本章要求:1.理解二维离散型随机变量的分布律及其性质;2.理解二维连续型随机变量的概率密度函数及其性质;3.理解边缘分布律、边缘概率密度函数的概念，掌握求边缘分布律以及边缘概率密度函数的方法;4.会判断随机变量的独立性;5.了解两个随机变量的和的分布的求法;本章重点:联合分布律,概率密度函数,边缘分布律,边缘概率密度函数,随机变量的独立性.概率论从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广.3.1多维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数概率论到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)来确定的等等.概率论一般地,设是一个随机试验,E它的样本空间是,Se设11,XXe22,XXe,nnXXe是定义在上的随机变量,S由它们构成的一个维向n量12,,,nXXX叫做维随机向量n或维随机变n量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.概率论)()(xXPxFxX的分布函数一维随机变量,,FxyPXxYyPXxYy,,xy如果对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数,,XY或者称为随机变量和的联合分布函数.YX定义1,XY设是二维随机变量,二维随机变量的分布函数概率论xXOxOxyyYX,YXyx,x将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,,XY那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,XY,xy,Fxy,xy分布函数的函数值的几何解释概率论11122122,,,,yxFyxFyxFyxF2121,yYyxXxP随机点落在矩形域,XY1212[,]xxxyyy内的概率为xyOYX,2y1y1x2x概率论xyOYX,1x2xyyx,1yx,2:,的性质分布函数yxF;,.1的不减函数和是关于变量yxyxF;,,,,212121yxFyxFxxRxxRy时当及对任意固定的;,,,,212121yxFyxFyyRyyRx时当及对任意固定的YX,概率论,0,,,1,0.2yFRyyxF对任意固定的且.1,,0,,0,,FFxFRx对任意固定的OxyyYX,XY.0,,,,0,.3yxFyxFyxFyxFyx,xyx,x概率论,),(ijjipyYxXP或随机变量X和Y的联合分布律.,)(kkpxXPk=1,2,…离散型一维随机变量XX的分布律,0kpkkp1k=1,2,…定义2的值是有限对或可列无限多对,是离散型随机变量.则称,XY设二维离散型随机变量,XY可能取的值是,,ijxy,1,2,,ij,1,2,ij记如果二维随机变量,XY全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量的分布律,,XY3.1.2二维离散型随机变量概率论ijijijpjip1,2,1,,0二维离散型随机变量的分布律具有性质,XY概率论12jyyyXY12ixxx11211ippp12222ippp12jjijppp也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布律.概率论例把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}YX1301838001233800182311221231122231218.=3/8=3/831218概率论一般地，对离散型r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘分布律为X和Y的联合分布律为,2,1,,),(jipyYxXPijji11,ijijjjPXxYyp,2,1iixXP1,jjiiyYxXxX离散型随机变量的边缘分布律.ip概率论(X,Y)关于Y的边缘分布律为jyYPjiijjiippyYxXP.11,1,2,j概率论例把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}YX1301838001233800182311221231122231218.=3/8=3/831218概率论P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.30,1kPXkY=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.30,3kPXkY概率论我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.YX130183800123380018jPYyiPXx183838186828概率论联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.YX130183800123380018jPYyiPXx183838186828概率论连续型一维随机变量XX的概率密度函数1)(dxxfxtdtfxFx0)(xfRxxf定义3对于二维随机变量,XY的分布函数,,Fxy则称是连续型的二维随,XY机变量,,fxy函数称为二维（X,Y)的概率密度,随机变量3.1.3二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度,,yxFxyfuvdudv存在非负的函数,,fxy如果任意有,xy使对于称为随机变量X和Y的联合概率密度.或概率论0),(yxf1),(dxdyyxf二维连续型随机变量的概率密度具有性质,XY2,1Rfxydxdy概率论（X,Y）的概率密度的性质:;0,.1yxf2,1;Rfxydxdy;,,,.3dxdyyxfGYXPxOyGG则有平面上的区域是设yxyxFyxf),(),(2在f(x,y)的连续点,.42.,1;fxydxdy概率论例设(X,Y)的概率密度是(1)求分布函数(2)2,0,0,,0,.xyexyfxy其它,;FxyPYX(2)求概率.概率论Ouvyyx,xOuvyyx,x,,yxFxyfuvdudv,,Duvuxvy积分区域区域,0fuv,0,0uvuv解(1)概率论Ouvyyx,xOuvyyx,x概率论211,0,0,,0,.xyeexyFxy其它00xy或当时,,,yxFxyfuvdudv0故(2)002yxuvedudv2002yxvuedvedu211xyee0,0xy当时,,,yxFxyfuvdudv概率论2302xxeedx1.3(2)PYX,yxfxydxdy2002xxydxedy2002xxyedxedyyxxyo概率论例设随机变量(X,Y)的概率密度是6,02,24,,0,.kxyxyfxy其它(1)确定常数;k1,3PXY(2)求概率.概率论解(1)xyo2421,Rfxydxdy24026kdxxydy24026kdxxydy2023kxdx8k故18.k2概率论xyo132421,3PXY(2).13,dxfxydy1302168dxxydy101782xdx38概率论对连续型r.v(X,Y)，X和Y的联合概率密度为则(X,Y)关于X的边缘概率密度为),(yxfdyyxfxfX),()(dyyxfdxxFxFxX,,事实上,,XXfxFxfxydy连续型随机变量的边缘概率密度x概率论(X,Y)关于Y的边缘概率密度为dx)y,x(f)y(fYy概率论例设(X,Y)的概率密度是其它,xy,x),x(cy)y,x(f00102求(1)c的值；（2）两个边缘密度。=5c/24,c=24/5.100(2)xdxcyxdy解(1)21,Rfxydxdy故yxxy01x123022cxxdx概率论例设(X,Y)的概率密度是解求(1)c的值;(2)两个边缘密度.其它,00,10),2(),(xyxxcyyxfdyyxfxfX,00,,,.Xxxfxfxydyfxydyfxydy(2)xxy0yx1xxx10,,,,0,0.Xxxyfxyfx或都有故当时当时,01x暂时固定概率论),2(5122xx注意取值范围xdyxy0)2(524综上,.,,0,10,25122其它xxxxfXxxyxxy01xx00,,,.Xxxfxfxydyfxydyfxydy当时,01x概率论例设(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.其它,00,10),2(),(xyxxcyyxfdxyxfyfY,.0,0,,,,01yfyxfxyyY故都有对时或当.,,,,1011dxyxfdxyxfdxyxfyfyyyY时当yxyyy11y暂时固定0yx概率论),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其它,010),2223(524)(2yyyyyfY综上,注意取值范围概率论在求连续型r.v的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.下面我们介绍两个常见的二维分布.概率论设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度其它,0),(,1),(GyxAyxf则称（X,Y）在G上服从均匀分布