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第一步考前必看八大提分笔记一、集合与常用逻辑用语第三编考前冲刺攻略1描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义，抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函数图象上的点集．2集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．3遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．4对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.5注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值的取舍．6“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．在否定条件或求结论时，应把“且”改成“或”，“或”改成“且”．7要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.8要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．忽视互异性致误例1已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数a的值．[正解]由题意得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1.解得a＝－1或a＝－2或a＝0.又当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1不符合集合中元素互异性这一特点．故a≠－2，同理a≠－1，故只有a＝0.[错解]由题意，得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，∴a＝－1或a＝－2或a＝0.[错因分析]当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合集合元素的互异性；同理a＝－1时，也不符合要求．[防范措施]上述解法造成本题失分的主要原因是忽视了集合元素具有互异性的特征.在解此类问题时注意代入检验是防范失分的一个重要措施.补救训练1若A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且A∪B＝{1,3，x}，则这样的x为________．±3或0解析由已知得B⊆A，∴x2∈A且x2≠1.①x2＝3，得x＝±3，都符合．②x2＝x，得x＝0或x＝1，而x≠1，∴x＝0.综合①②，共有3个值.忽视空集致误例2已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求实数m的取值范围．[正解]∵A∪B＝A，∴B⊆A.∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}．①若B＝∅，则m＋12m－1，即m2，故m2时，A∪B＝A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2.由B⊆A，如图所示，得－2≤m＋1，2m－1≤5.解得－3≤m≤3.又∵m≥2，∴2≤m≤3.由①②知，当m≤3时，A∪B＝A.[错解]∵x2－3x－10≤0，∴－2≤x≤5.∴A＝{x|－2≤x≤5}．由A∪B＝A知B⊆A，∴－2≤m＋1，2m－1≤5，即－3≤m≤3.∴m的取值范围是－3≤m≤3.[错因分析]B⊆A，B可以为非空集合，B也可以是空集．漏掉对B＝∅的讨论，是本题的一个失分点．[防范措施]造成本题失分的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B时，注意对A进行分类讨论，即分为A＝∅和A≠∅两种情况讨论．补救训练2已知集合A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，p∈R}，若A∩R＋＝∅，则实数p的取值范围为__________．(－4，＋∞)解析由于A∩R＋＝∅，先求A∩R＋≠∅的情况有Δ＝p＋22－4≥0，－p＋220，即p≥0或p≤－4，p－2，解得p≤－4.故当A∩R＋＝∅时，p的取值范围是(－4，＋∞).忽视集合运算中的边界点致误例3记f(x)＝2－x＋3x＋1的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a1)的定义域为B.若B⊆A，求实数a的取值范围．[正解]∵2－x＋3x＋1≥0，∴x－1x＋1≥0.∴x－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．∵(x－a－1)(2a－x)0，得(x－a－1)(x－2a)0.∵a1，∴a＋12a，∴B＝(2a，a＋1)．∵B⊆A，∴2a≥1或a＋1≤－1，即a≥12或a≤－2，而a1，∴12≤a1或a≤－2.故当B⊆A时，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪12，1.[错解1]f(x)的定义域为A，则A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．g(x)的定义域为B，则B＝(a＋1,2a)．∵B⊆A，∴a＋1≥1或2a≤－1.∴a≥0或a≤－12.[错解2]由2－x＋3x＋1≥0，得x－1或x≥1.∴A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．由(x－a－1)(2a－x)0，得(x－a－1)(x－2a)0.且a1，∴2axa＋1.∴B＝(2a，a＋1)，∵B⊆A，∴2a1或a＋1－1，∴a12或a－2.∴a∈12，1∪(－∞，－2)．[错因分析]错解1忽视对条件a1的考虑；错解2忽视了界点，事实上：2a≥1或a＋1≤－1.[防范措施]对于错解1，解一元二次不等式时一定要将考虑抛物线的开口和含参数的讨论形成习惯.对于错解2，对于含参数的交、并、补集问题的运算，一定要注意界点.补救训练3[2015·太原一模]已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B.(－3,1]C.(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D.(－3，－1)解析由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁UN)＝(－3，－1).对命题的否定不当致误例4已知M是不等式ax＋10ax－25≤0的解集且5∉M，则a的取值范围是____________________．(－∞，－2)∪[5，＋∞)[正解]解法一：∵5∉M，∴5a＋105a－250或5a－25＝0.∴a－2或a5或a＝5，故填a≥5或a－2.解法二：若5∈M，则5a＋105a－25≤0，∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a5.∴5∉M时，a－2或a≥5.[错解](－∞，－2)∪(5，＋∞)[错因分析]5∉M，把x＝5代入不等式，原不等式不成立，有两种情况：①5a＋105a－250；②5a－25＝0，答案中漏掉了第②种情况．[防范措施]本题失分率高达56%，实质上当x＝5时，ax＋10ax－25≤0不成立，即是对命题ax＋10ax－25≤0的否定．失分的原因就在于对命题的否定不当．对于这类形式的命题的否定，一定要注意其否定为ax＋10ax－250或ax－25＝0.当然，就本题而言，也可以先求出5∈M时的a的范围，再求其补集．补救训练4已知集合M＝xa2x＋2x－3ax－10，若2∉M，则实数a的取值范围是________________．12，＋∞解析若2∈M，则2a2＋12a－10，即(2a－1)(2a2＋1)0，∴a12.∴当2∉M时，a的取值范围为a≥12.错误理解简易逻辑中的概念致误例5x2＝x＋2是xx＋2＝x2的________________条件．既不充分也不必要[正解]方程x2＝x＋2的解集为{－1,2}，xx＋2＝x2的解集为{0,2}，但是{－1,2}⃘{0,2}，且{0,2}⃘{－1,2}，所以x2＝x＋2是xx＋2＝x2的既不充分也不必要条件．[错解1]由x2＝x＋2⇒x＝x＋2⇒x2＝xx＋2得出x2＝x＋2是xx＋2＝x2的充分条件．[错解2]由xx＋2＝x2⇒x＋2＝x⇒x＋2＝x2得出x2＝x＋2是xx＋2＝x2的必要条件．[错因分析]错解1中，事实上x2＝x＋2⇒/x＝x＋2；错解2中，xx＋2＝x2⇒/x＋2＝x.[防范措施]①因为在错解1的推理过程中，当x＝－1时“⇒”左边成立，而右边不成立，所以这里“⇒”不成立．②因为在错解2的推理过程中，当x＝0时“⇒”左边成立，而右边不成立，所以这里“⇒”不成立．事实上，在推理过程中错误地进行了开方，方程两边同时相消，无理方程中忽略了被开方数的范围等等．这是应该注意防范的．补救训练5[2016·江西八校高三联考]在△ABC中，“AB→·AC→＝BA→·BC→”是“|AC→|＝|BC→|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析AB→·AC→＝BA→·BC→⇔bccosA＝accosB⇔bcosA＝acosB⇔sinBcosA＝sinAcosB⇔tanA＝tanB⇔A＝B⇔a＝b，故AB→·AC→＝BA→·BC→是|AC→|＝|BC→|的充要条件.