中北大学概率统计习题册参考答案

概率统计习题册参考答案2012-2013-1-1-第一章随机事件与概率1.解(1))},(),,(),,(),,{(−−+−−+++=Ω，)},(),,{(−−++=A.(2)记X为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{===ΩkkX，}3,2,1,0|{===kkXA.(3)记X为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX，)}2500,2000({∈=XA.2.解(1)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341xxBA∪;(2)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=BxxxBA∩21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141xxxx∪;(3)因为BA⊂，所以φ=BA；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=223410xxxABA或∪∪⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤223121410xxxx或或3.解(1)CBAE=1；(2)CABE=2；(3)ABCE=3；(4)CBAE∪∪=4；(5)CBAE=5；(6)CBACBACBACBAE∪∪∪=6；(7)CBAABCE∪∪==7；(8)BCACABE∪∪=8.4.解(1)21AA∪；(2)321AAA；(3)321AAA；(4)321AAA∪∪；(5)321321321AAAAAAAAA∪∪.5．解这是不放回抽取，样本点总数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=350n，记求概率的事件为A，则有利于A的样本点数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=15245k.于是39299!2484950!35444535015245)(=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==nkAP6．解本题是有放回抽取模式，样本点总数27=n.记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为DCBA,,,.(ⅰ)有利于A的样本点数25=Ak，故492575)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=AP概率统计习题册参考答案2012-2013-1-2-(ⅱ)有利于B的样本点数25×=Bk，故4910725)(2=×=BP(ⅲ)有利于C的样本点数252××=Ck，故4920)(=CP(ⅳ)有利于D的样本点数57×=Dk，故754935757)(2==×=DP.7．解记求概率的事件为A，样本点总数为35，而有利A的样本点数为345××，所以25125345)(3=××=AP.8．解记求概率的事件为A，则AS为图中阴影部分，而2/1||=Ω，1859521322121||2=×=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=AS最后由几何概型的概率计算公式可得952/118/5||||)(==Ω=ASAP.9．解(1)6.04.01)(1)(=−=−=APAP，4.06.01)(1)(=−=−=BPBP；(2)0)()()(==−=φPBAPABP；4.06.01)(1)()(=−=−==BAPBAPBAP∪∪(3).2.04.06.0)()(=−=−=ABPBAP；10．解注意到)()()()(ABPBPAPBAP−+=∪，因而)()()(BPAPABP+=)(BAP∪−4.08.07.05.0=−+=.于是，)()()()(ABPAPABAPBAP−=−=−1.04.05.0=−=；()()PBAPBAB−=−()()0.70.40.3PBPAB=−=−=.11．解4.08.05.0)|()()(=×==ABPAPABP()()1()PABPABPAB==−∪∪1()()()PAPBPAB=−−+3.04.06.05.01=+−−=12．解10789989981989910090910=×=××××=p.1/38题图yxO11ΩASh概率统计习题册参考答案2012-2013-1-3-13．解=B{迟到}，=1A{坐火车}，=2A{坐船}，=3A{坐汽车}，=4A{乘飞机}，则∪41==iiBAB，且按题意25.0)|(1=ABP，3.0)|(2=ABP，1.0)|(3=ABP，0)|(4=ABP.由全概率公式有：41()()(|)iiiPBPAPBA==∑0.30.250.20.30.10.10.145=×+×+×=14．解(1)记=B{该球是红球}，=1A{取自甲袋}，=2A{取自乙袋}，已知10/6)|(1=ABP，14/8)|(2=ABP，所以1122()()(|)()(|)PBPAPBAPAPBA=[phone]=×+×=(2)1272414)(==BP15．解因)()(BAPBAP=，由独立性有)()()()(BPAPBPAP=,从而)()()()()()(BPAPBPBPAPAP−=−导致)()(BPAP=,再由9/1)(=BAP，有1/9()()(1())(1())PAPBPAPB==−−2(1())PA=−,所以3/1)(1=−AP。最后得到.3/2)()(==APBP16．解记=B{命中目标}，=1A{甲命中}，=2A{乙命中}，=3A{丙命中}，则∪31==iiAB，因而31231()11()()()iiPBPAPAPAPA=⎛⎞=−=−⎜⎟⎝⎠∩211181132399.=−××=−=17．解记=A{通达}，=iA{元件i通达}，6,5,4,3,2,1=i则654321AAAAAAA∪∪=，所以)()()()(654321AAPAAPAAPAP++=12343456()()PAAAAPAAAA−−1256123456()()PAAAAPAAAAAA−+642)1()1(3)1(3ppp−+−−−=17题图123456概率统计习题册参考答案2012-2013-1-4-18．解记=iA{A在第i次试验中出现}，.3,2,1=i)(APp=，依假设332131)1(1)(12719pAAAPAPii−−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==∪所以，278)1(3=−p，此即3/1=p.第二章随机变量及其概率分布1、1A=；0.42、是；0,11/15,123/1523()6/153410/154515xxxFxxxx⎧⎪≤⎪⎪≤=⎨≤⎪⎪≤⎪≥⎩;否3、（1）010.310()0.70111xxFxxx−⎧⎪−≤⎪=⎨≤⎪⎪≥⎩；（2）14、X123nppqp2qp1nqp−5.(1)1k=;（2）2200012()2112212xxxFxxxxx≤⎧⎪⎪≤⎪=⎨⎪−−≤⎪⎪⎩（3）13{}2234PX=。6、（1）0()1/1othersfxxxe⎧=⎨≤⎩；(2)5()(2)ln52ln22FF−=−7、（1）1;2c=（2）102()1102xxexFxex−⎧⎪⎪=⎨⎪−≥⎪⎩；（3）11(1)2e−−；8、(1)808160.20.30.10.4−⎛⎞⎜⎟⎝⎠(2)1250.30.30.4⎛⎞⎜⎟⎝⎠9、先来求Y的分布函数()YFy，因201YX=当0y≤时()0YFy=，当1y≥时，()1YFy=，当01y时，2(){}{}{}YFyPYyPXyPyXy=≤=≤=≤≤概率统计习题册参考答案2012-2013-1-5-()()XXFyFy=−−将()YFy关于y求导数得到Y的概率密度为1[()()],012()0,XXYfyfyyyfy⎧+−⎪=⎨⎪⎩其他1,0120,yy⎧⎪=⎨⎪⎩其他10、123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/1611、(1)(),0yxXxfxedyex∞−−==∫0(),0yyyYfyedxyey−−==∫(2)1111220{1}12xyxPXYdxedyee−−−−+≤==−+∫∫12、X2,01()0,xxfx⎧=⎨⎩其它1,10;()1,010,Yyyfyyy+−≤⎧⎪=−≤⎨⎪⎩其它13、（1）38ab+=；（2）17,1224ab==14、303()02()()()3()0,032,0006(1)0ZXYxYzxzxzzfzfxfzxdxefzxdxzeedxzzeez+∞−∞+∞−−−−−−=−=−≤⎧⎪=⎨⋅⎪⎩≤⎧=⎨−⎩∫∫∫15、(1)1=k(2)⎪⎩⎪⎨⎧+∞−−=−−其它0,0)1)(1(),(yxeeyxFyx(3)））（（1211−−−−ee(4)001)2yyxPXYedyedx+∞−−==∫∫（(5)因为()()(,)XYfxfyfxy=所以,XY相互独立.第三章随机变量的数字特征1、2，1，3.8；2、1EXp=；21pDXp−=；3、12xEXxedxμλμλ−−+∞−∞==∫；4.)(3),(22bababa+++ππ;YX概率统计习题册参考答案2012-2013-1-6-5、10;6EXDX==6、1,1,12kab==−=7、1010002/301/3YXXXXp−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，所以1/3EY=−,21EY=，11/98/9DY=−=8、设盈利为Y，则10012001XYX≥⎧=⎨−⎩，1144100200111YXpee−−⎛⎞−⎜⎟⎜⎟≥⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，所以1144100200(1)EYee−−=×−−1430020033.64e−=−=9.1213,125,125,61−−;10、0,2.5EXEY==，0EXY=，所以(,)0CovXY=；1111ppp⋅⋅≠⋅显然2YX=，所以X与Y不具有线性关系。11．32,47,14411,127；12.41,2252513、设y为进货量，Y为收益，依题意500300()()500100()yXyXyYgXXyXXy+−≥⎧==⎨−−⎩，于是(())()()EYEgXgxfxdx+∞−∞==∫30101()20gxdx=∫101(600100)20yxydx=−∫301(300200)20yxydx++∫21535052502yy=−++，为使9280EY≥，并找到最小的y，必须215350525092802yy−++≥，解得21y≥（求导计算为23）第四章几类重要的概率分布1．（1）np，npq（2）λ，λ（3）1λ，21λ（4）2ab+，2()12ba−（5）2,μσ（6）1，1，2，9，1.5（7）()5000,625N2.解：设ξ表示次品数，5001.05000=×=λ{}{}{}1012=−=−=≥ξξξPP01555510!1!ee−−=−−10.006740.033690.95957=−−=3.解：设X表示该种商品当月销售数，x表示进货数，则计算{}0.999PXx≤≥，由于概率统计习题册参考答案2012-2013-1-7-~(7)XP，查泊松分布的数值表，可得16x≥.4.解：设X表示旅客到达时刻，则1/505~()0xXfxother≤≤⎧=⎨⎩，而候车时间5YX=−，所以501(5)2.55EYxdx=−=∫；5201(5)25/425/125DYxdx=−−=∫5.解：（1）()Xfx∼则()fx关于x=10对称，(10)0.5PX=（2）(010)(1020)0.3PXPX==(3)(0)(10)(010)PXPXPX=−0.5(010)PX=−=0.261,()0,()9,()16EXEYDXDY====∵,X与Y相互独立()3112EZ∴=×−=()9()()97DZDXDY=+=(,)(,31)CovXYCovXXY=−−3()(,)27DXCovXY=−=,997XZρ=（2）(,)340.22.4CovXY=××=()3112EZ=×−=()9()()2(3,)DZDXDYCovXY=+−9()()6(,)DXDYCovXY=+−82.6=7.解：略（参照课本：标准化变换）8.解：（1）250300(250)135PX−⎛⎞=−Φ⎜⎟⎝⎠10101()77⎛⎞=−Φ−=Φ⎜⎟⎝⎠(2)()3535xxPaxXax⎛⎞⎛⎞−+=Φ−Φ−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠210.9,35x⎛⎞=Φ−≥⎜⎟⎝⎠则0.9535x⎛⎞Φ≥⎜⎟⎝⎠解得x≥68.69.解：()⎪⎩⎪⎨⎧=−00022xxexfxξξη21−−=e，且()1,0∈η，()ηξ−−=1ln21()()()11ln1012210fyyfyξηη