对策论03-070516

第五部分对策论3.矩阵对策的解法njyymivyaIImixxnjvxaIVvyxvGyxSySxjjjjjijiiiiiijG,...,2,1,01,...2,1,)(,...,2,1,01,...2,1,)(.,,:),(,,:4*****2**1*且的解分别是以下不等式和使存在数必要条件是的解的充分是则设定理依据：3.矩阵对策的解法依据：njyymivyavDmixxnjwxawPjjjjjijiiiiiij,...,2,1,01,...2,1,min)(,...,2,1,01,...2,1,max)(定理5：3.矩阵对策的解法依据：0,)4(0,)3(,0)2(,0)1(:,,),(:6**********jiiijijjijiiijjjjijiGyvxaxvyavxayvyaxVvGyx则若则若则若则若则的解是矩阵对策设定理•根据定理5可用单纯形法或对偶单纯形法求解•根据定理4及定理6可用对偶理论的互补松弛性求解3.矩阵对策的解法图解法、单纯形法事实上都可归结为线性规划法公式法、方程组法(1)2n或m2对策的图解法njyymivyavDmixxnjwxawPjjjjjijiiiiiij,...,2,1,01,...2,1,min)(,...,2,1,01,...2,1,max)(3.矩阵对策的解法当模型只有两个变量时，可采用图解法。(1)2n或m2对策的图解法例8求解矩阵对策G＝{S1,S2,A}其中2571132A3.矩阵对策的解法设局中人I的混合策略为(x,1-x),x[0,1].则问题转化为求解线性规划问题(v,x为决策变量)(1)2n或m2对策的图解法0,)1(211)1(53)1(72maxvxvxxvxxvxxvxv012571132A10)1(1221xxxxIII设局中人I的混合策略为(x,1-x)，x[0,1]过数轴上坐标为0和1的两点分别做两条垂线I-I和II-II，垂线上点的纵坐标值分别表示局中人I采取纯策略1和2时，局中人II采取各纯策略时的赢得值。10III图14-22n对策的图解法10721IIIIII图14-22n对策的图解法2571132A0,)1(211)1(53)1(72maxvxvxxvxxvxxv31075221IIIIII图14-22n对策的图解法2571132A0,)1(211)1(53)1(72maxvxvxxvxxvxxv211310752321IIIIII图14-22n对策的图解法2571132A0,)1(211)1(53)1(72maxvxvxxvxxvxxv211310752321IIIIII图14-22n对策的图解法0,)1(211)1(53)1(72maxvxvxxvxxvxxv211310752321IIIIIIＢＢ3Ｂ2Ｂ1图14-22n对策的图解法0,)1(211)1(53)1(72maxvxvxxvxxvxxv211310752321IIIIIIＢＢ3Ｂ2Ｂ1图14-22n对策的图解法局中人I的最优选择就是确定x使他的收入尽可能地多，按最小最大原则目标函数等值线cv0,)1(211)1(53)1(72maxvxvxxvxxvxxv211310752321IIIIIIＢＡＢ3Ｂ2Ｂ1图14-22n对策的图解法局中人I的最优选择就是确定x使他的收入尽可能地多，按最小最大原则应选择x＝OA、而AB即为对策值。0,)1(211)1(53)1(72maxvxvxxvxxvxxv211310752321IIIIIIＢＡＢ3Ｂ2Ｂ1图14-22n对策的图解法解过B点的两条线段2和3所确定的方程：3x十5(1-x)=V，11x十2(1-x)=V，解得x=3／11，VG=49／11，所以，局中人I的最优策略为x*＝(3／11，8／11)T。0,)1(211)1(53)1(72maxvxvxxvxxvxxv211310752321IIIIIIＢＡＢ3Ｂ2Ｂ1图14-22n对策的图解法局中人II的最优混合策略只由2和3组成。解下列方程组：3y2+11y3=49/11，5y2+2y3=49/11，y2+y3=1解得y2=9／11，y3=2／11，所以，局中人II的最优策略为y*＝(0,9／11，2／11)T。0,)1(211)1(53)1(72maxvxvxxvxxvxxv(1)2n或m2对策的图解法例9求解矩阵对策G＝{S1,S2,A}其中2116672A3.矩阵对策的解法设局中人II的混合策略为(y,1-y)，y[0,1]过数轴上坐标为0和1的两点分别做两条垂线I-I和II-II，垂线上点的纵坐标值分别表示局中人I采取纯策略1、2和3时，局中人II采取各纯策略时的支付值。10图14-3m2对策的图解法10IIIIII图14-3m2对策的图解法1072IIIIII图14-3m2对策的图解法2116672A10721IIIIII图14-3m2对策的图解法2116672A6107621IIIIII图14-3m2对策的图解法2116672A6107621IIIIII图14-3m2对策的图解法22116672A2116107621IIIIII图14-3m2对策的图解法22116672A2116107621IIIIII图14-3m2对策的图解法322116672A2116107621IIIIII图14-3m2对策的图解法32当局中人II选择每一策略(y，1-y)时，他的最大可能的损失为由局中人I选择1、2、3时所确定的三条直线2y十7(1-y)=V，6y十6(1-y)=V，11y十2(1-y)=V在y处的纵坐标中之最大者。如图所示。2116107621IIIIII图14-3m2对策的图解法32当局中人II选择每一策略(y，1-y)时，他的最大可能的损失为由局中人I选择1、2、3时所确定的三条直线2y十7(1-y)=V，6y十6(1-y)=V，11y十2(1-y)=V在y处的纵坐标中之最大者。如图所示。2116107621IIIIII图14-3m2对策的图解法32当局中人II选择每一策略(y，1-y)时，他的最大可能的损失为由局中人I选择1、2、3时所确定的三条直线2y十7(1-y)=V，6y十6(1-y)=V，11y十2(1-y)=V在y处的纵坐标中之最大者。如图所示。2116107621IIIIIIＢ2Ｂ1图14-3m2对策的图解法322116107621IIIIIIＢ2Ｂ1图14-3m2对策的图解法32局中人II的最优选择就是确定y使他的损失尽可能地少，按最大最小原则应选择OA1=y=OA2而A1B1与A2B2为对策值。2116107621IIIIIIＢ2Ｂ1图14-3m2对策的图解法A2A132局中人II的最优选择就是确定y使他的损失尽可能地少，按最大最小原则应选择OA1=y=OA2而A1B1与A2B2为对策值。对策值为6。2116107621IIIIIIＢ2Ｂ1图14-3m2对策的图解法A2A132由方程：3y十7(1-y)=6，11y十2(1-y)=6，解得OA1=1/5，OA2=4/9，所以，局中人II的最优策略为x*＝(y,1-y)T其中1/5=y=4/9。而局中人I的最优策略为(0,1,0)T，即为2(2)2n或m2对策的图解法例10求解矩阵对策G＝{S1,S2,A}其中75512438/4A3.矩阵对策的解法解赢得矩阵第2列优超于第3列75512438/4A3.矩阵对策的解法解赢得矩阵第2列优超于第3列75512438/4A划去第3列3.矩阵对策的解法解赢得矩阵75512438/4A3.矩阵对策的解法解赢得矩阵75512438/4A划去第2列3.矩阵对策的解法解得新的赢得矩阵7124'A3.矩阵对策的解法解得新的赢得矩阵7124'A2/5)4/3,4/1()2/1,2/1(:**GTTVyx求得解为3.矩阵对策的解法148/310752124IIIIII图14-42n对策的图解法313/43/4局中人I的最优混合策略为：x*＝(3/4，1/4)T1、2、4两线的交点。75512438/4A148/310752124IIIIII图14-42n对策的图解法313/43/4从图形中看出y3*=0，局中人II的最优混合策略由下列方程组解得：4y1+3/8y2+2y4=13/4，y1+5y2+7y4=13/4，y1+y2+y4=1满足上面方程的解有无穷多个，故局中人II有无穷多个最优混合策略。与其它直线域无交点3.矩阵对策的解法(2)2x2对策的公式法—方程组法2x2对策是指赢得矩阵为2阶的22211211aaaaA最优纯策略存在,即可解(求鞍点).最优纯策略不存在,求混合策略.3.矩阵对策的解法(1)2x2对策的公式法—方程组法2x2对策是指赢得矩阵为2阶的22211211aaaaA最优纯策略存在,即可解(求鞍点).最优纯策略不存在,求混合策略.由定理4和定理6,等价于求等式组1)(1)(2122212121211121222112221111yyvyayavyayaIIxxvxaxavxaxaI3.矩阵对策的解法3.1图解法、迭代法及其它方法(1)2x2对策的公式法2x2对策是指赢得矩阵为2阶的最优纯策略存在,即可解.最优纯策略不存在,求混合策略.22211211aaaaA1)(1)(2122212121211121222112221111yyvyayavyayaIIxxvxaxavxaxaI)()()()()()()()()()(:2112221121122211211222112111*2211222111222*1211222111211*2211222112122*1aaaaaaaaVaaaaaayaaaaaayaaaaaaxaaaaaaxG求解可得例7求解矩阵对策G＝{S1,S2,A}其中2431A方程组法方程组法例7求解矩阵对策G＝{S1,S2,A}其中2431A)()()()()()()()()()(2112221121122211211222112111*2211222111222*1211222111211*2211222112122*1aaaaaaaaVaaaaaayaaaaaayaaaaaaxaaaaaaxG2142)43()21(42