圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

1圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线bkxy代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标,,,,2211yxByxA利用韦达定理及弦长公式]4))[(1(212212xxxxk求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷.一、椭圆的焦点弦长若椭圆方程为)0(12222babyax，半焦距为c0，焦点)0,(),0,(21cFcF，设过1F的直线l的倾斜角为l,交椭圆于两点,,,,2211yxByxA求弦长AB.解：连结BFAF22,，设yBFxAF11,，由椭圆定义得yaBFxaAF2,222，由余弦定理得222)2(cos22)2(xacxcx，整理可得cos2cabx，同理可求得cos2caby，则222222cos2coscoscaabcabcabyxAB；同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为2222sin2caabAB（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）.结论：椭圆过焦点弦长公式：).(sin2),(cos222222222轴上焦点在轴上焦点在ycaabxcaabAB2二、双曲线的焦点弦长设双曲线,0,012222babyax其中两焦点坐标为)0,(),0,(21cFcF，过F1的直线l的倾斜角为，交双曲线于两点,,,,2211yxByxA求弦长|AB|.解：（1）当ababarctanarctan时，（如图2）直线l与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连BFAF22,，设,,11yBFxAF，由双曲线定义可得ayBFaxAF2,222，由余弦定理可得222222)2()cos(22)2(,)2(cos22)2(aycycyaxcxcx整理可得cos2cabx，cos2caby，则可求得弦长;cos2coscos222222caabcabcabyxAB（2）时或当ababarctanarctan0，如图3，直线l与双曲线交点2211,,,yxByxA在两支上，连F2A,F2B,设,,11yBFxAF3则ayBFaxAF2,222，由余弦定理可得222)2(cos22)2(axcxcx,222)2(cos22)2(aycycy,整理可得，则,cos,cos22acbyacbx.cos2coscos222222acabacbacbxyAB因此焦点在x轴的焦点弦长为).arctanarctan0(cos2),arctan(arctancos222222222ababacabababcaabAB或同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式).arctan(arctansin2),arctanarctan0(sin222222222ababacabababcaabAB或其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角.三、抛物线的焦点弦长若抛物线)0(22ppxy与过焦点)0,2(pF的直线l相交于两点2211,,,yxByxA，若l的倾斜角为，求弦长|AB|.（图4）解：过A、B两点分别向x轴作垂线AA1、BB1，A1、B1为垂足，yFBxFA,设，则点A的横坐标为cos2xp，点B横坐标为cos2yp，由抛物线定,2cos2,2cos2ypypxpxp义知,cos1,cos1pypx即,sin2cos12cos1cos122ppppyx则4同理)0(22ppxy的焦点弦长为,sin22pAB)0(22ppyx的焦点弦长为,cos22pAB，所以抛物线的焦点弦长为).(cos2)(sin222轴上焦点在，轴上焦点在ypxpAB由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握.圆锥曲线的弦长公式一、椭圆：设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|)K(12或|P1P2|=|y1-y2|)1/K(12{K=(y2-y1)/(x2-x1)}=]4))[(1(212212xxxxk二、双曲线：设直线与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|)K(12或|P1P2|=|y1-y2|)1/K(12{K=(y2-y1)/(x2-x1)}=]4))[(1(212212xxxxk三、抛物线：(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²）{为弦AB的倾斜角})(1222所在直线的斜率为弦或ABkkkPAB(2)设直线与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|)K(12或|P1P2|=|y1-y2|)1/K(12{K=(y2-y1)/(x2-x1)}=]4))[(1(212212xxxxk