§3.4-高阶系统的阶跃响应及动态性能

3.4高阶系统的阶跃响应及动态性能3.4.1高阶系统单位阶跃响应高阶系统传递函数一般可以表示为11111112211()()()()()(2)mmmmnnnnmiiqrjkkkjkbsbsbsbMssDsasasasaKszsssλξωω−−−−===++++Φ==++++−=−++∏∏∏LL00（n）（3-18）m≥式中，nmabK=，。由于均为实系数多项式，故闭环零点、极点2qrn+=)(),(sDsMizλj只能是实根或共轭复根。系统单位阶跃响应的拉氏变换可表示为12211()1()()()(2)λξωω===−=Φ=−++∏∏∏miiqrjkkkjkKszCsssssss02112qrjkkjkjkkkAABsssssλ2Cξωω==+=++−+∑∑+（3-19）式中，00(0)lim()(0)sMAsCsD→==，lim()()jjjsAsCλsλ→=−是在闭环实极点()Csjλ处的留数。和是与在闭环复数极点kBkC()Cs21kkkkjξωωξ−±−处的留数有关的常系数。对式（3-19）进行拉氏反变换可得011()sin()λσωϕ−===+++∑∑jkqrttjkdkjkctAAeDetk（3-20）式中，是与在闭环复数极点kD()Cs21kkkkjξωωξ−±−处的留数有关的常系数；2,1kkkdkkkσξωωωξ==−可见，除常数项)0()0(0DMA=外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组合，组合系数即部分分式系数。模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点分布有关，所以，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。当所有闭环极点均具有负的实部，即所有闭环极点均位于左半s平面时，随时间的增加所有模态均趋于零（对应瞬态分量），系统的单位阶跃响应最终稳定在t)0()0(DM。很明显，闭环极点负实部的绝对值越大，相应模态趋于零的速度越快。在系统存在重根的情况下，以上结论仍然成立。3.4.2闭环主导极点对稳定的闭环系统，远离虚轴的极点对应的模态因为收敛较快，只影响阶跃响应的起始段，而距虚轴近的极点对应的模态衰减缓慢，系统动态性能主要取决于这些极点对应的响应82分量。此外，各瞬态分量的具体值还与其系数大小有关。根据部分分式理论，各瞬态分量的系数与零、极点的分布有如下关系：①若某极点远离原点，则相应项的系数很小；②若某极点接近一零点，而又远离其他极点和零点，则相应项的系数也很小；③若某极点远离零点又接近原点或其他极点，则相应项系数就比较大。系数大而且衰减慢的分量在瞬态响应中起主要作用。因此，距离虚轴最近而且附近又没有零点的极点对系统的动态性能起主导作用，称相应极点为主导极点。3.4.3估算高阶系统动态性能指标的零点极点法一般规定，若某极点的实部大于主导极点实部的5~6倍以上时，则可以忽略相应分量的影响；若两相邻零、极点间的距离比它们本身的模值小一个数量级时，则称该零、极点对为“偶极子”，其作用近似抵消，可以忽略相应分量的影响。在绝大多数实际系统的闭环零、极点中，可以选留最靠近虚轴的一个或几个极点作为主导极点，略去比主导极点距虚轴远5倍以上的闭环零、极点，以及不十分接近虚轴的相互靠得很近（该零、极点距虚轴距离是其相互之间距离的10倍以上）的偶极子，忽略其对系统动态性能的影响。然后按表3-7中相应的公式估算高阶系统的动态性能指标。应该注意使简化后的系统与原高阶系统有相同的闭环增益，以保证阶跃响应终值相同。例3-9已知系统的闭环传递函数为2(0.241)()(0.251)(0.040.241)(0.06251)ssssss+Φ=++++试估算系统的动态性能指标。解先将闭环传递函数表示为零、极点的形式2383.693(4.17)()(4)(625)(16)ssssss+Φ=++++可见，系统的主导极点为1,234jλ=−±，忽略非主导极点416λ=−和一对偶极子（34λ=−，）。注意原系统闭环增益为1，降阶处理后的系统闭环传递函数为14.17z=−图3-26降阶前、后系统阶跃响应的比较2383.6934.171()416625Φ×=×+sss+225()625sss=Φ=++可以利用式（3-13）、式（3-14）近似估算系统的动态指标。这里5;0.6nωξ==，有21%9eξπξσ−−==.5%3.51.17sntξω==83降阶前、后系统的阶跃响应曲线比较如图3-26所示。表3-7动态性能指标估算公式表系统名称闭环零、极点分布图性能指标估算公式Dtpπ=，%100%1pteσσ−=1ln3σ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=DAts振荡型二阶系统Dtpθπ−=，%100%1pteFEσσ−=1ln3σ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=FEDAtsDtpα=，21⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=BAc，DCBAc=2%100%11⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−−ppctteceBCσσ)0%(ln312时≠+=σσcts)0%(ln31时=+=σCcts振荡型三阶系统Dtpα=，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=FCBAc121，FEDCBAc=2%100%11⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−−ppctteceFEBCσσ时），0%(ln3112≠+=σσσCcts时），（0%ln311=+=σσCCcts)(1ln1ln332113121σσσσσσσσ≠≠⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=st非振荡型三阶系统)1.1,(1ln1ln1ln31321131211时σσσσσσσσσσ≠≠⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=FFts8485