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线段的垂直平分线知识点一知识点二知识点一线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.拓展归纳理解线段的垂直平分线性质的要点:(1)这里的线段垂直平分线上的点是指该直线上任意一点.(2)这里的距离是指线段垂直平分线上的点与线段两个端点间线段的长度.北京师范大学出版社八年级|下册知识点一知识点二例1如图,在△ABC中,线段BC的垂直平分线DE交AC于点D.(1)若AB=5,AC=8,求△ABD的周长;(2)若△ABD的周长为13,△ABC的周长为20,求BC的长.分析:(1)由DE垂直平分线段BC→DB=DC→△ABD的周长等于(AB+AC)的长度.(2)△ABC的周长等于AB+AC+BC→△ABC与△ABD的周长之差等于BC的长度.北京师范大学出版社八年级|下册中学生入团申请书800字范例本文是入团申请书频道为您准备的《》请大家参考![提示]入团申请书请点击以下链接:入团申请书范文|入团志愿书|入团介绍人意见|入团申请书格式|入团时间|入团介绍人意见敬爱的学校团支部:中国共青团是一个先进青年的组织,是党的好帮手,是一个人才辈出的组织,使一批又一批的人才涌现。我是初二(2)班的学生,我认为自己已经是一个先进的青年,符合了团的标准要求。因此我恳求团组织认真考虑和评议上我加入团的大家庭,发扬团的优良传统。做一名优秀的团员。在班上担当**一职,对工作力求完善。在班里也是一名奋发向上,全面发展,尊师重道、遵守校规、爱护班集体的学生。在家我是一个尊敬父母,尊重长辈,爱护幼小,承担一定的家务劳动。在社会上能遵守公共秩序和各项社会制度。本人性格开朗,易于接受新事物,是21世纪的新一代青年。本人自愿加入共青团。我向团组织申请:如果我被录取了,我会用实际行动来证明,用力求完善的态度来完成团教给的任务。并且决心维护团组织,遵守团的章程、遵守纪律,做一个先进的团的好帮手。不论在地球的哪一个角落,我都要有团员的模范。继续把中国建设富有特色的中国社会为知识点一知识点二解:(1)∵DE是BC的垂直平分线,∴DB=DC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=13.(2)由(1)知△ABD的周长等于(AB+AC)的长度.∵△ABC的周长为(AB+AC+BC)的长度,∴BC等于△ABC的周长与△ABD的周长之差,即BC=20-13=7.北京师范大学出版社八年级|下册知识点一知识点二知识点二线段的垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.拓展归纳(1)判定一条直线是线段的垂直平分线必须说明该直线上有两个点到线段两个端点的距离相等.(2)线段垂直平分线的判定与性质是题设与结论互换的两个命题.线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合.北京师范大学出版社八年级|下册知识点一知识点二例2如图所示,已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:AD垂直平分EF.分析:要证AD垂直平分EF,即证A,D分别在EF的垂直平分线上,即证AE=AF,DE=DF.证明:∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°.又AD=AD,∴△AED≌△AFD(AAS).∴DE=DF,AE=AF.∴A,D在EF的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理),即AD垂直平分EF.北京师范大学出版社八年级|下册知识点一知识点二北京师范大学出版社八年级|下册拓展点一拓展点二拓展点一三角形三边的垂直平分线例1如图所示,已知△ABC,你能找一点O,使它到其三个顶点的距离相等吗?若能,请说明理由.分析:由线段垂直平分线的性质知,这样的点O在边AB,BC,AC的垂直平分线上.北京师范大学出版社八年级|下册拓展点一拓展点二解:能找到.理由如下:如图,设边AB,BC的垂直平分线交于点O,连接OA,OB,OC.∵点O在线段AB的垂直平分线上,∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).同理OB=OC.∴OA=OB=OC.故点O到△ABC三个顶点的距离相等.北京师范大学出版社八年级|下册拓展点一拓展点二北京师范大学出版社八年级|下册拓展点一拓展点二拓展点二线段的垂直平分线的有关作图例2如图所示,A,B,C三个村庄的干部商议合建一处村民文化活动中心.为了使三个村的村民到该活动中心的距离相等,活动中心应建在什么地方?请用尺规作图的方法在图上找出建活动中心的位置.(不写作法,保留作图痕迹.)分析:连接三点构成一个三角形,然后作出这个三角形的两边的垂直平分线,相交于一点,该点所在的位置就是所要建活动中心的位置.北京师范大学出版社八年级|下册拓展点一拓展点二作法:如图所示.(1)连接AB,BC;(2)分别作AB,BC的垂直平分线交于点P.点P所在的位置,即建活动中心的位置.北京师范大学出版社八年级|下册拓展点一拓展点二北京师范大学出版社八年级|下册P22想一想答案逆命题:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.这是个真命题.证明思路,如:已知PA=PB,(1)过点P作已知线段AB的垂线段PC,再证明点C平分AB;(2)取AB的中点C,再证明PC⊥AB;(3)作∠APB的平分线PC,证明PC⊥AB,且AC=BC.下面给出第(1)种思路的完整证明过程,其他证明过程由同学们自己完成.已知:如图所示,PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.北京师范大学出版社八年级|下册证明过点P作PC⊥AB,C为垂足,则∠PCA=∠PCB=90°.∵PC=PC,PA=PB,∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).∴AC=BC(全等三角形的对应边相等).∴点P在线段AB的垂直平分线上.北京师范大学出版社八年级|下册P23问题答案还有其他证法.证明∵AB=AC,OB=OC,AO=AO,∴△AOB≌△AOC(SSS).∴∠BAO=∠CAO,即AO平分∠BAC.∴AO垂直平分BC(等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合).P23随堂练习证明∵AB是CD的垂直平分线,∴EC=ED,FC=FD,∴∠ECD=∠EDC,∠FCD=∠FDC.∴∠ECD+∠FCD=∠EDC+∠FDC.∴∠ECF=∠EDF.北京师范大学出版社八年级|下册习题1.71.解∵AB=AC,∴∠B=∠C=180°-∠𝐵𝐴𝐶2=180°-120°2=30°.∵AB的垂直平分线是EF,∴FA=FB.∴∠B=∠BAF=30°.∴∠AFC=∠B+∠BAF=30°+30°=60°.∴∠AFC=60°.2.解所有顶点都在AB的垂直平分线上(垂足除外).3.解∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.∵△BEC的周长为BC+BE+EC=50,∴BC+EC+AE=50,即BC+AC=50.∵AC=27,∴BC=50-27=23.北京师范大学出版社八年级|下册4.作法:如图,(1)连接AB;(2)作AB的垂直平分线交河岸于C点,则C点即为所求.P24议一议答案(1)能;无数个;不全等.(2)能.P25做一做答案能.小明先作了PA=PB,然后作了线段AB的垂直平分线.北京师范大学出版社八年级|下册P26议一议作法:1.以P为圆心,以任意长为半径作弧,交直线l于A,B两点.2.分别以A,B为圆心,以PA的长为半径作弧,两弧交于一点Q.3.作直线PQ,直线PQ垂直于l.P26随堂练习相等的线段有:AO=BO,AE=BE,AD=DC,AF=FC.C△AEF=AE+EF+FA=BE+EF+FC=BC=2.∴△AEF的周长为2.北京师范大学出版社八年级|下册习题1.81.已知:线段a.求作:△ABC,使得AB=AC,BC=a,BC边上的高AD=a.作法:如图,(1)作射线BM,在BM上截取BC=a;(2)作BC的垂直平分线l交BC于D点;(3)截取AD=a;(4)连接AB,AC,则△ABC即为所求.这个等腰三角形是一个等腰直角三角形.1212北京师范大学出版社八年级|下册2.解(1)如图,过B作AC的垂线,交AC于点O,则BO即为AC边上的高.(2)延长CB,过A作CB延长线的垂线交延长线于F点.AF即为BC边上的高.3.提示(1)(2)作△PQR的两边的垂直平分线,其交点即为体育中心G的位置.(3)旨在引发同学们对这一现实问题的进一步思考.实际上,对这类选址问题,从不同角度考虑会有不同的结论.北京师范大学出版社八年级|下册4.解应选方案(3).为方便起见,不妨设等边△ABC边长为a,则对于方案(1)有AB+BC=2a;方案(2)有AD+BC=a+32a;方案(3):∵AO=23AD=23×32a=33a,∴OA+OB+OC=3·33a=3a.∵3aa+32a2a,∴选方案(3).北京师范大学出版社八年级|下册