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作者：WANGWEISHENG第1页共8页平行四边形讲义【平行四边形】〖例1〗如图，已知ABCD中，M是BC的中点，且AM=9,BD=12,AD=10,则该平行四边形的面积为_______(平移AM，使分散的条件集中到一个三角形中)〖例2〗如图ABCD中，∠DAB=600，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD,CF=CB(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若去掉已知条件的“∠DAB=600”，上述的结论还成立吗？若成立请写出证明过程；若不成立请说明理由〖例3〗如图，△ABC中，∠C=900，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上，且AN=MC,AM与BN相交于点P，求证∠BPM=450(条件给出的是线段的相等关系，结论是求角的度数，条件中国有直角和相等的线段，联想到等腰直角三角形；故平移AN,构造平行四边形)〖例4〗四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA都是锐角，点P是对角线BD上一点，PQ∥AB交AD于Q，PS∥BC交DC于S，四边形PQRS也是平行四边形.（1）当P于点B重合时，图（1）变为图（2），若∠ABD=900，求证△ABR≌△CRD（用不同的方法）（2）对于图（2）若四边形PRDS也是平行四边形，此时你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？〖例5〗.四边形ABCD中,DB交AC于P,EF过P点分别交AD、BC于E、F，且PE=PF，PA+AE=PC+CF.求证：PA=PC.【矩形、菱形】〖例6〗如图，矩形ABCD中对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=150，则∠BOC=______〖例7〗如图，四边形ABCD是菱形，△AEF是正三角形，点E、F分别在边CB、CD上，且AB=AE,则∠B=()A.600B.800C.1000D.1200例1例2例3例7例6作者：WANGWEISHENG第2页共8页〖例8〗矩形纸片ABCD沿EF折叠，点B落在AD上的B1处，点A落在A1处.（1）求证：B1E=BF（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a,b,c之间有何等量关系，并证明。〖例9〗（2008年湖北省咸宁市）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．〖例10〗（山东东营）如图2，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）A（A）34（B）33（C）24（D）８〖例11〗（威海市）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为A．1B．2C．2D．3答案：D【正方形】〖例12〗正方形的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点；则DN+MN的最小值是多少？〖例13〗（海南省）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x,△PBE的面积为y.①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；〖例14〗（08武汉）正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上的一ABCPDE例13ABCDFEOABCDABCDEF图2作者：WANGWEISHENG第3页共8页动点，过P作PF⊥DC于F.如图，当点P与点O重合时，显然有DF=CF.（1）如图2，若点P在AO上（不与点A，O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E.求证：DF=EF；写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你结论.（2）若P在线段OC上（不于O，C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3，并判断（1）中的两个问题是否分别成立？若不成立写出相应的结论.〖例15〗如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．⑴求证：CE＝CF；⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．〖例〗小明在研究正方形ABC的有关问题时，得出“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”。小明是一个善于提问题的同学，他想：若把正方形ABCD改为矩形，其他的条件不变，是否还有EF⊥AE的结论呢？请你对上述的两个问题作出解释。按照上述的思路你会进一步提出什么问题？并对你提出的问题给予解释。（考虑在菱形中，在一般的平行四边形中的情形；进一步研究图形还会发现与四边形AFCD有关的结论：AF与CF、AD的关系）BCADEBCAGDFE图1图2作者：WANGWEISHENG第4页共8页【梯形】〖例16〗：梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=900，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，求S1，S2，S3之间的关系。〖例17〗（2008年甘肃省白银市）如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．〖例18〗如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=900，AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？〖例19〗.等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，对角线AC⊥BD于O，若DC=3cm,AB=8cm,求这个梯形的面积。〖例20〗已知梯形ABCD，AD∥BC，∠ABC=900，AD=3，BC=5，以D为旋转中心，逆时针方向把DC旋转900得线段DE，求△ADE的面积。（根据AB长的不确定，在特殊情况下探索三角形的面积，在一般情况下给出证明。利用的数学思想是：一般与特殊的关系）（1）（2）作者：WANGWEISHENG第5页共8页【中点相关的问题】1.任意四边形各边中点的连线是什么图形？当得到的四边形是矩形、菱形时，原四边形应满足什么条件？2．如图，矩形1111ＡＢＣＤ的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形2222ＡＢＣＤ，再顺次连结四边形2222ＡＢＣＤ四边中点得到四边形3333ＡＢＣＤ，依此类推，求四边形nnnnＡＢＣＤ的面积是。3.如图，△ABC中，CD是AB边上的高，D为垂足，M为AB中点，DM=21AC，求证：∠A=2∠B4．如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P的位置有关5.（2008乌鲁木齐）．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与AD，不重合），GFH，，分别是BEBCCE，，的中点．（1）证明四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EFBC，且12EFBC，证明平行四边形EGFH是正方形．6.△ABC中，CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE.7.梯形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=600，AC与BD交于O，E是OD中点，F是OC的中点，G是AB的中点。求证：△GEF是等边三角形作者：WANGWEISHENG第6页共8页8.梯形ABCD中，AD∥CB，∠B+∠C=900，AD=1，BC=3，E，F分别是AD，BC的中点，则EF的长是多少？9.平行四边形的两条对角线的长分别为4，6.则其边的取值范围是_________10.（2007山东临沂）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是。答案：AD＝BC，或ABCD为等腰梯形（答案不唯一）11.△AEB及△AFC是直角三角形，∠AEB=∠AFC=90，∠ABE=∠ACF，M是BC的中点，探究ME和MF的大小关系.12.D在AB上，E在AC上，BD=CE，M是BE中点，N是CD中点.M，N交B于P交AC于Q.求证：∠APQ=∠AQP13..如图，M，N，P，Q分别是五边形ABCDE的边的中点，O是PQ的中点，K是MN的中点，探究线段OK与BC的关系.作者：WANGWEISHENG第7页共8页【练习】1.（08潍坊）如图，ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于点F，BE于E点.（1）求证：DF=FE；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.2.已知，D，E分别是正△ABC的BC，AB边上的点，且CD=BE，以AD为边作正△ADF，连接EF。（1）判断四边形CDFE的形状。（2）当∠EFD=300时，求D点的位置。（拓展到正方形中）3.如图，以△ABC的三边AC，BC，AB为边作等边△ACD，等边△BCE，等边△ABF，使D，A，F，E在BC的同侧。（1）试判断四边形ADEF的形状，并说明理由（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？菱形？（3）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF不成在？4.如图,四边形ABCD中,若AB=BC，∠ABC=∠CDA=900，BE⊥AD于点E，ABCDs四边形=8，则BE的长为（）（A）2（B）3（C）3（D）225.一个等腰梯形有三条边的长分别为2，3，8；求这个梯形的周长。作者：WANGWEISHENG第8页共8页6.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，4cmAB．那么，菱形ABCD的面积是，对角线BD的长是．7、（甘肃陇南）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．ADCEB