全等三角形中的辅助线作法

全等三角形辅助线专题讲座通江县第二中学刘仕平知识要点：判定三角形全等方法有SAS、ASA、AAS、SSS和HL如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理、定理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要添加适当的辅助线构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，问题就可以迎刃而解了。构造辅助线的方法：1.连线法2．截长补短法3．作平行线法：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线4．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内5．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形1．连线法通过连线,构造全等三角形例1.如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.ACBD连结AC构造全等三角形连线构造全等例2.如图,AB与CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.连结BD构造全等三角形ACBD2．截长补短法（通常用来证明线段和差相等）“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”即把两条线段中的一条补长成为一条长线段，然后证明补成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等。例3.如图AC//BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.分析：本题是线段和差问题的证明，基本方法是截长补短法，即在AB上截取AF，使AF=AC，这样，只要证明FB=BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等。证明：在AB上取点F，使AF=AC，连结EF∵EA平分∠CAB∴∠CAE=∠FAE∴△CAE≌△FAE（SAS）∴∠C=∠AFE∵AC∥BD∴∠C+∠D=180°又∵∠AFE+∠BFE=180°∴∠D=∠BFE∵EB平分∠ABD∴∠EBF=∠EBD∴△BFE≌△BDE（AAS）∴BD=BF∵AB=AF+BF∴AB=AC+BDmB'AC=42.35mBAB'=42.23例4.已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2求证:AB=AC+CDADBCE12在AB上取点E使得AE=AC，连接DE截长F在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF补短3．作平行线法如果题目中含有中点，可以通过中点作平行线对于Rt△,有时可作出斜边的中线．例5.如图，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。4．倍长中线法如果题中条件有中线，可将中线延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。例6.如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD例7.如图，AD为△ABC的中线，∠ADB、∠ADC的平分线交AB、AC于E、F。求证：BE+CF＞EF分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。5．翻折法沿角平分线翻折构造全等三角形沿高线翻折构造全等三角形绕点旋转构造全等三角形证明：已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCE在BC上截取BE=AB，连结DE。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△ABD和△EBD中∵AB=EB（已知）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）1243∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∴DE=DC（等量代换）∴∠4=∠C（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）例8.例9.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。1.利用三角形的角平分线来构造全等三角形如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。方法一：ABCDE必有结论：在AB上截取AE=AC，连结DE。△ADE≌△ADC。ED=CD∠AED=∠C∠ADE=∠ADC。方法二：ABCDF延长AC到F，使AF=AB，连结DF。必有结论：△ABD≌△AFD。BD=FD如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。∠B=∠F∠ADB=∠ADF。如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：ABCDMN方法三：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。必有结论：△AMD≌△ADN。DM=DN3*21如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。AM=AN∠ADM=∠ADN（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BABCDE12证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△AED和△ACD中∵AE=AC（已知）∠1=∠2（已证）AD=AD（公共边）∴△AED≌△ACD（S.A.S）3∴∠B=∠4（等边对等角）4∴∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等)又∵AB=AC+CD=AE+EB（已知）∴EB=DC=ED（等量代换）∵∠3=∠B+∠4=2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠C=2∠B（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BABCDF12证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵AB=AC+CD，CF=CD（已知）∴AB=AC+CF=AF（等量代换）∵∠ACB=2∠F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠ACB=2∠B（等量代换）321*在△ABD和△AFD中∵AB=AF（已证）∠1=∠2（已证）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△AFD（S.A.S）∴∠F＝∠B（全等三角形的对应角相等）∵CF=CD（已知）∴∠B=∠3（等边对等角）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。