数学专业学年论文

学年论文（本科）学院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2015级姓名高传印论文题目幂级数及其应用指导教师周学勇职称讲师成绩2016年12月05日学号：20155031201目录摘要………………………………………………………………………1关键词………………………………………………………………………1Abstract……………………………………………………………………1Keywords……………………………………………………………………1前言………………………………………………………………………11.幂级数的定义……………………………………………………………22.幂级数的收敛区间和收敛半径…………………………………………23.幂级数的运算……………………………………………………………43.1幂级数在求导数中的应用………………………………………………43.2幂级数在求极限中的应用………………………………………………53.3幂级数在计算级数和中的应用…………………………………………53.4幂级数在求微分方程中的应用…………………………………………6总结…………………………………………………………………………7参考文献……………………………………………………………………71幂级数及其应用学生姓名：高传印学号：20155031201数学与统计学院数学与应用数学专业指导老师：周学勇职称：讲师摘要：本文主要介绍了幂级数的定义、收敛区间、运算及其应用。关键词：幂级数；收敛区间；应用PowerseriesanditsapplicationAbstract：Thispapermainlyintroducesthedefinition,convergenceinterval,operationandapplicationofthepowerseries.Keywords：powerseries；convergenceinterval；application前言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础，主要包括正项级数和交错级数，而正项级数在各种数项级数中是最基本的，同时也是十分重要的一类级数。级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。21.幂级数的定义在引进幂级数定义之前,先介绍一下函数项级数的概念.设nux是定义在数集E上的一个函数列,表达式12nuxuxuxxE，称为定义在E上的函数项级数,简记为1nnnux或nux.定义由幂函数序列0nnaxx所产生的函数项级数200102000+nnnnnnaxxaaxxaxxaxx(1)称为幂级数，是一类最简单的函数项级数.从某种意义上,它可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用,特别是在应用它表示函数方面.下面将着重讨论00x,即20120nnnnnnaxaaxaxax(2)的情形,只要把（2）中的x换成0xx,就得到（1）.2.幂级数的收敛区间和收敛半径定理2.1（阿贝尔定理）若幂级数（2）在,则0xx处收敛,则对满足不等式xx的任何x,幂级数（2）收敛,而且绝对收敛;若幂级数（2）在xx处发散,则对满足不等式xx的任何x,幂级数（2）发散.证：设级数0nnnax收敛,从而数列nnax收敛于零且有界,即存在某整数M，使得nnaxM(0,1,2)n另一方面对任意一个满足不等式xx的x,设31xrx，则有=nnnnnnnnnnxxaxaxaxMrxx.由于级数0nnMr收敛,故幂级数（2）当xx时绝对收敛.现在证明定理的第二部分.设幂级数（2）在xx处发散,如果存在某一个0x,满足不等式0xx,使级数00nnnax收敛.则知道级数（2）在xx处绝对收敛,与假设矛盾,故一切不满足不等式xx的x,幂级数（2）都发散.由此定理知道:幂级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间.若以2R表示区间长度，则称R为幂级数的收敛半径.也是使得幂级数（2）收敛的那些收敛点的绝对值的上确界.所以当R=0时,幂级数（2）仅在0x处收敛；当R时,幂级数（2）在-+，上收敛；当0R时,幂级数（2）在,RR上收敛;对一切满足不等式xR的x，幂级数（2）都发散,在xR处,幂级数（2）可能熟练也可能发散.我们称,RR为幂级数（2）的收敛区间.定理2.2对于幂级数（2）,若limnnxa，则当(i)0时,幂级数（2）的收敛半径1R;(ii)=0时,幂级数（2）的收敛半径R；(iii)时,幂级数（2）的收敛半径R=0.证：对于幂级数（2）0nnnax,由于4lim=limnnnnnnnaxaxx，根据级数的根式判别法,当1x时,0nnnax收敛;当1x时发散.于是当0时,由1x得幂级数（2）的收敛半径1R.当=0时,对任何x皆有1x,所以R.当时,除0x的任何x皆有1x,所以R=0.例1求幂级数2nxn的收敛区间和半径.解：由于21211nnanann，所以它的收敛半径R=1,即收敛区间为1,1;当1x时,有22211nn,由于级数2nxn在1x时也收敛,可得其收敛域为1,1.例2求幂级数nnx的收敛半径和区间.解：limlim1nnnnnan,即收敛半径为R=1,收敛区间为；当1x时,由于1nn均发散,故该级数的收敛区域为.逻辑推理：求幂级数的收敛半径和收敛域,可直接用定理求幂级数的收敛半径R,然后确定幂级数在xR时数项级数的敛散性,即可的收敛区域.当幂级数缺项时，可直接用正项级数的等值判别法判定收敛区域.3.幂级数的运算幂级数是高等数学中最基础的知识,它的应用非常广泛.巧妙地利用函数幂级数的展开式和性质能够把复杂的性质表达成最简单的形式,使得解题思路清晰.3.1幂级数在求导数中的应用5求导数是高等数学中最基础的知识,有些求导问题,幂级数法也是其中之一.例：求2()2xfxxx的n阶导数.解：∵2111111111+21231231612xxxxxxxx001111362nnnnnnxxx110111132nnnnfxxx10111!1132nnnnfxnxx3.2幂级数在求极限中的应用求极限幂级数法是一种有效的方法例：求33333111lim11212312nn解：设3333333211111111,1212312111212+i111==21ii+1ii+1212121nnniinniixiniinn故33333111lim121212312nn3.3幂级数在计算级数和中的应用利用幂级数的性质：幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分可计算幂级数的和.6例：求幂级数212!nnxn的和函数.解：因为12limlim021nnnnnaan，所以R=0,收敛域为,.令21,2nnxsxn则21211021!21!nnnnxxsxnn所以2212111112!21!21!!nnnnnnnnnxxxxsxsxennnn即01nsxsxes，(一阶线性微分方程)解得12xxsxee故有2112!2nxxnxeen.3.4幂级数在求微分方程中的应用在求微分方程解的问题上,有时候借助幂级数的形式,也不失为一种好方法.例：求0yxyy的解解：设方程的解为0nnnyax则10nnnynax1210121nnnnnnynnaxnnax将,,0yyyyxyy代入12000210nnnnnnnnnnnaxxnaxax202110nnnnnnanax2,0,1,22nnaann7000242,28!2kaaaaaakk1113521,1,2,331521!!kaaaaaakk原方程的通解为212101002!21!!nnnanxxyaann(01,aa是任意常数)总结幂级数应用的方面虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍．本文归纳总结幂级数应用方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的幂级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断．参考文献：[1]李光敏，焦艳芳.数学分析习题精解[M]．北京：中国水利水电出版社,2012．[2]华东师范大学数学系.数学分析第四版下册[M]．北京：高等教育出版社,2010．[3]朱明星.幂级数的应用[J]．中国科技信息：基础及前沿研究,2011,34(10).8学年论文成绩评定表评语成绩：指导教师(签名):年月日学院意见：学院院长(签名):年月日