傅里叶变换在图像处理中的应用研究

学科分类号：___________湖南人文科技学院本科生毕业论文题目（中文）：傅里叶变换在图像处理中的应用研（英文）：TheApplicationofFourierTransformInImageProcessing学生姓名：学号系部：专业年级：指导教师：职称：______________________目录摘要…………………………………………………………………………1关键词……………………………………………………………………………1Abstract………………………………………………………………1Keywords………………………………………………………………………11.引言………………………………………………………………………………21.1本文的研究背景…………………………………………………………21.2研究现状和前景…………………………………………………………21.3本文研究的思路及内容安排……………………………………………22.傅里叶变换和图像处理技术……………………………………………………32.1傅里叶变换概述…………………………………………………………42.1.1连续傅里叶变换…………………………………………………42.1.2离散傅里叶变换…………………………………………………42.1.3二维离散傅里叶变换……………………………………………42.1.4二维傅立叶变换的性质及其在图像中的表现…………………42.2图像处理技术概述………………………………………………………42.2.1模拟图像处理……………………………………………………42.2.2数字图像处理……………………………………………………42.3图像傅里叶变换…………………………………………………………42.3.1图像傅里叶变换的物理意义……………………………………42.3.2傅里叶变换在图像处理中的作用………………………………42.3.3傅里叶变换在图像压缩中的原理………………………………42.3.4傅里叶变换在图像压缩中的实现………………………………43.图像傅里叶变换快速算法………………………………………………………63.1离散傅里叶变换运算量估计……………………………………………73.2离散傅里叶变换的快速算法……………………………………………73.3FFT算法的基本思想……………………………………………………73.4FFT的几种经典算法……………………………………………………73.5几种算法的比较…………………………………………………………73.6算法的改进………………………………………………………………73.6.1算法的改进原理…………………………………………………43.6.2算法中有待探讨的问题…………………………………………44.基于MATLAB的图像离散傅立叶变换的研究…………………………………64.1MATLAB软件概述…………………………………………………………74.2MATLAB实现图像离散傅里叶变换………………………………………74.3MATLAB实现图像压缩……………………………………………………7参考文献………………………………………………………………………………8致谢……………………………………………………………………………………8附录…………………………………………………………………………………lO原创性声明…………………………………………………………………………11傅里叶变换在图象处理中的应用研究摘要：傅立叶变换研究是应用数学的一个重要方向，一个多世纪以来，傅立叶变换作为数学工具被迅速的应用到图像和语音分析等众多领域。傅立叶变换（FT）作为数字图像处理技术的基础，通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化计算工作量，被誉为描述图像信息的第二种语言。本文试图基于MATLAB数学分析工具环境下从工程和实验角度出发，较为直观地探讨了傅立叶变换在图像处理中的应用。同时，引用了一种改进的快速傅立叶变换（FFT）算法,为傅立叶变换在图像压缩中的实现提供了更为有利的条件。关键词：傅立叶变换；FFT；MATLAB；图像处理；图象压缩TheApplicationofFourierTransformInImageProcessingAbstract：TheresearchofFouriertransformisanimportantdirectionoftheappliedmathematics.Beingusedasthemathematicstool,theFouriertransformhasbeenquicklyappliedtoanalyzetheimageandspeech.Etc.Fouriertransform(FT),knownasthesecondlanguagetodescribetheimage,isthefoundationofimageprocessing,whichselectsandanalyzestheinformationfeaturesbychangingtheimagefromtimespacedomainandfrequencydomain.Meanwhile,itcansimplifiedthecalculation.FromtheangleoftheengineeringandexperimentationintheMATLAB,thepaperhasdiscussedtheapplicationofimageCompressionbasedontheFouriertransform.Atthesametime,thearticleputforwardanewalgorithmofFFT.KeyWords：FourierTransform;FFT;Algorithm;ImageProcessing;ImageCompression1引言傅立叶变换是信号处理中最重要，应用最广泛的变换。从某种意义上来说,傅立叶变换就是函数的第二种描述语言。傅里叶变换理论及其物理解释两者的结合，对图像处理领域诸多问题的解决提供了有利的思路，它让我们从事物的另一侧面来考虑问题，这样在分析某一问题时就会从空域和频域两个角度来考虑问题并来回切换，可以在空域或频域中思考的问题，利用频域中特有的性质，可以使图像处理过程简单，有效，对于迂回解决图像处理中的难题非常有帮助，被广泛应用于数字图像处理中。1.1本文的研究背景图像信息是人类认识世界的重要源泉。数字图像的数据量尤其巨大，同时由于受到通讯带宽和存储空间的限制，所以图像处理技术在数字电视、网络多媒体通信、会议电视、可视电话、遥感图像传输、图像数据库、自动指纹识别系统的指纹存储等应用中起着重要的作用。如果图像不经过处理就进行存储或者在网络上进行传输，将占用非常大的存储空间和网络带宽，必将限制数字图像在众多领域中的广泛应用。因此，图像处理技术的发展，对现代科学研究有深远影响。1.2研究现状和前景傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。尤其在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。随着傅里叶变换在不同领域不同范围内的延伸以及涉及的范围之广，其发展趋势也愈显“数字化”，更是与计算机技术密不可分，目前，在信号处理与通讯领域里，使用最活跃的当属MATLAB其在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指，而当前傅里叶变换在通信领域中的应用又是基于这一数学软件上，做快速傅里叶变换，并且除了数字信号处理之外，出色的图形处理功能使其在数字图像处理技术上解决了傅里叶变换在这些应用领域内的特定类型的问题，使傅里叶变换在通信中得以更号的应用与发展。1.3本文研究的思路及内容安排主要研究傅立叶变换在边缘增强，图像压缩，去噪声，纹理分析等图像处理和分析中的重要作用。基于MATLAB数学分析工具环境下从工程和实验角度出发，直观地探讨傅立叶变换在图像压缩、边缘增强、图像去噪中的应用。同时，引用了一种改进的快速傅立叶变换算法,为傅立叶变换在图像压缩的实现提供了更为有利的条件。图像压缩：傅立叶变换会使图像信号能量在空间重新分布，其中低频成分占据能量的绝大部分，而高频成分所占比重很小，能量分布集中，这就是数字图像在频率域压缩编码的理论依据。图像增强与图像去噪：绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声；边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘。本文先从傅立叶变换的理论出发，找到了图像傅立叶变换的优势所在，以傅里叶变换在图像压缩中的原理及应用为例做具体研究说明。利用MATLAB实现基于傅里叶变换的图像压缩技术。2傅里叶变换和图像处理技术傅立叶变换作为一种强大的数学工具被广泛的应用于图像和运动识别等领域中。傅立叶变换与傅立叶级数技术用于分析连续信号，然而在许多应用场合，信号本身就己经是离散的，在这种情况下需要利用傅立叶变换的离散形式来分析离散信号，即离散傅立叶变换（DFT）。DFT很重要，是因为其实质是有限长序列傅立叶变换的有限点离散采样，从而开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行，增加了数字信号处理的灵活性。更重要的是DFT有多种快速算法，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现，使图像处理技术成为可能，这一章对傅立叶变换作简单的描述，同时给出离散傅立叶变换的定义，并引出傅立叶变换在图像处理中应用。2.1傅里叶变换概述1804年，法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解。在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远影响，成为傅里叶变换的起源。傅立叶变换是十九世纪数学界和工程界最辉煌的成果之一，它本质上提出了一种与空间思维不同的频域思维方法，一直是信号处理领域最完美，应用最广泛的一种分析手段，它也是线性系统分析的有利工具，特别是被广泛的应用于数字图像处理中。在传统的数字图像处理中，傅立叶变换能够定量的分析诸如数字化系统，采样点，电子放大器，卷积滤波器，噪声，显示点等的作用，它在图像平滑，边缘增强，图像压缩，去噪声，纹理分析等图像处理和分析中有重要作用。随着图像处理和识别技术的发展，傅立叶变换又被应用于数字水印和特征提取及运动状态识别中。所谓的傅立叶变换就是以时间为自变量的“信号”和以频率为自变量的“频谱“函数之间的某种变换关系。这种变换同样可以用在其他有关数学和物理的各种问题之中，并可以采用其他形式的变量。当自变量“时间”或“频率”取连续时间形式和离散时间形式的不同组合，就可以形成各种不同的傅立叶变换对。傅立叶变换家族中的变换很多，主要包括：连续傅立叶变换，拉普拉斯变换，离散傅立叶变换，序列傅立叶变换，Z变换和离散傅立叶变换。连续傅立叶变换，连续傅立叶级数变换，连续拉普拉斯变换适用于连续时间信号的情形。离散傅立叶级数变换，序列傅立叶变换，Z变换和离散傅立叶变换适用于离散时间信号的情形。2.1.1连续傅里叶变换函数f(x)的傅里叶变换存在的条件是满足狄里赫莱条件，即：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。一维连续傅里叶变换及反变换：单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为：dxexfuFuxj2)()(其中12j，x称为时域变量，u为频率变量。当给定F(u)，通过傅里叶反变换可以得到f(x)dueuFxfuxj2)()(二维连续傅里叶变换及反变换：二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定义为：dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(其中x,y为时域变量，u,v为频域变量。当给定F(u,v)，