复合函数求导公式-复合函数综合应用

翔鹏教育华侨城个性化学习中心地址：南山区华侨城光侨街12栋204室（华侨城中学对面）18926501098（刘老师）电话：0755-2660348413088862266（李老师）1相信自己，相信翔鹏，你是最棒的！导数的运算法则及基本公式应用一、常用的求导公式二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则2)()()()(vvuvuvuuccuvuvuvuvuvu三、基础运用举例1y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于()A0B1C－1D22经过原点且与曲线y=59xx相切的方程是()Ax+y=0或25x+y=0Bx－y=0或25x+y=0Cx+y=0或25x－y=0Dx－y=0或25x－y=03若f′(x0)=2,kxfkxfk2)()(lim000=_________4设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则翔鹏教育华侨城个性化学习中心地址：南山区华侨城光侨街12栋204室（华侨城中学对面）18926501098（刘老师）电话：0755-2660348413088862266（李老师）25已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程6求函数的导数(1)y=(x2－2x+3)e2x;(2)y=31xx四、综合运用举例例1求函数的导数)1()3()sin()2(cos)1(1)1(2322xfyxbaxyxxxy22222(1)(1)cos(1)[(1)cos](1):(1)cosxxxxxxyxx解2222222222222222(1)cos(1)[(1)cos(1)(cos)](1)cos(1)cos(1)[2cos(1)sin](1)cos(21)cos(1)(1)sin(1)cosxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx(2)解y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－byv=x,y=sinγγ=ωxy′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′=3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′)=3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)(3)解法一设y=f(μ),μ=v,v=x2+1,则y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·21v－21·2x=f′(12x)·21112x·2x=),1(122xfxx翔鹏教育华侨城个性化学习中心地址：南山区华侨城光侨街12栋204室（华侨城中学对面）18926501098（刘老师）电话：0755-2660348413088862266（李老师）3解法二y′=［f(12x)］′=f′(12x)·(12x)′=f′(12x)·21(x2+1)21·(x2+1)′=f′(12x)·21(x2+1)21·2x=12xxf′(12x)例2已知曲线Cy=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标解由l过原点，知k=00xy(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,∴00xy=x02－3x0+2y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=00xy,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+22x02－3x0=0,∴x0=0或x0=23由x≠0,知x0=23∴y0=(23)3－3(23)2+2·23=－83∴k=00xy=－41∴l方程y=－41x切点(23，－83)五、巩固练习1.函数y=2)13(1x的导数是A.3)13(6xB.2)13(6xC.－3)13(6xD.－2)13(6x翔鹏教育华侨城个性化学习中心地址：南山区华侨城光侨街12栋204室（华侨城中学对面）18926501098（刘老师）电话：0755-2660348413088862266（李老师）42.已知y=21sin2x+sinx,那么y′是A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数3.函数y=sin3(3x+4)的导数为A.3sin2(3x+4)cos(3x+4)B.9sin2(3x+4)cos(3x+4)C.9sin2(3x+4)D.－9sin2(3x+4)cos(3x+4)4.函数y=cos(sinx)的导数为A.－［sin(sinx)］cosxB.－sin(sinx)C.［sin(sinx)］cosxD.sin(cosx)5.函数y=cos2x+sinx的导数为A.－2sin2x+xx2cosB.2sin2x+xx2cosC.－2sin2x+xx2sinD.2sin2x－xx2cos6.过曲线y=11x上点P（1，21）且与过P点的切线夹角最大的直线的方程为A.2y－8x+7=0B.2y+8x+7=0C.2y+8x－9=0D.2y－8x+9=0二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）7.函数y=(1+sin3x)3是由___________两个函数复合而成.8.曲线y=sin3x在点P（3,0）处切线的斜率为___________.9.函数y=xsin(2x－2)cos(2x+2)的导数是.10.函数y=)32cos(x的导数为.11.函数y=cos3x1的导数是___________.翔鹏教育华侨城个性化学习中心地址：南山区华侨城光侨街12栋204室（华侨城中学对面）18926501098（刘老师）电话：0755-2660348413088862266（李老师）5参考答案1解析y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1答案B2解析设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=00xy,另一方面，y′=(59xx)′=2)5(4x,故y′(x0)=k,即)5(9)5(40000020xxxxyx或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,x0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=53515915,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,53),从而得y′(A)=3)53(4=－1及y′(B)=251)515(42,由于切线过原点，故得切线lA:y=－x或lB:y=－25x答案A3解析根据导数的定义f′(x0)=kxfkxfk)()]([(lim000(这时kx)1)(21)()(lim21])()(21[lim2)()(lim0000000000xfkxfkxfkxfkxfkxfkxfkkk答案－14解析设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！答案n!5解设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)对于C1y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12①对于C2y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4②∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0∴直线l方程为y=0或y=4x－46解(1)注意到y＞0,两端取对数，得lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x翔鹏教育华侨城个性化学习中心地址：南山区华侨城光侨街12栋204室（华侨城中学对面）18926501098（刘老师）电话：0755-2660348413088862266（李老师）6xxexxexxxxxxyxxxxyxxxxxxxxxxxyy2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1(2)两端取对数，得ln|y|=31(ln|x|－ln|1－x|),两边解x求导，得31)1(31)1(131)1(131)111(311xxxxyxxyxxxxyy复合函数的导数1.C2.B3.B4.A5.A6.A7.y=u3,u=1+sin3x8.－39.y′=21sin4x+2xcos4x10.)32cos()32sin(xx11.xxx1sin1cos122