21.2.2公式法(第二课时)

第二十一章一元二次方程21.2.2公式法第二课时复习与回顾1.用公式法解下列方程（1）x2-x-=0（2）2x2-x+1=0（3）x2+2x+10=0（4）9x2=4(3-x)2.根据以上方程根的情况，回顾一下一元二次方程根的判别定理一元二次方程方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判别定理（1）当Δ=b²-4ac＞0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根；（2）当Δ=b²-4ac=0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；（3）当Δ=b²-4ac＜0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）没有实数根；aacbbx242一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式当Δ≥0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根可写成，这个式子叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式.例题分析例1不解方程，判别下列各方程的根的情况（1）x²+x+1=0解：∵a=1，b=1，c=1∴Δ=b²-4ac=1²-4×1×1=-3＜0∴原方程无实数解（2）x²-3x+2=0解：∵a=1，b=-3，c=2∴b²-4ac=（-3）²-4×1×2=1＞0∴原方程有两个不相等实数根234)2(2解：原方程可以化为∴a=3，b=，c=-2∴Δ=b²-4ac=26＞0∴原方程有两个不相等的实数根.（3）3x2-x=23x2-x-2=0思考1.方程ax²+bx+c=0有实根与方程ax²+bx+c=0（a≠0）有实根有什么不同吗？方程ax²+bx+c=0有实根包括三种情况（1）有唯一实根，此时a=0，b≠0（2）有两个根，此时a≠0，b²-4ac≥0（3）有无数个实根，此时a=0，b=0，c=0方程ax²+bx+c=0（a≠0）有实根只有一种情况就是有两个实数根，此时a≠0，b²-4ac≥02.方程ax²+bx+c=0有实根与方程ax²+bx+c=0（a≠0）无实根有什么不同吗？方程ax²+bx+c=0无实根包括两种情况（1）a=0，b=0,c≠0（2）a≠0，b²-4ac＜0方程ax²+bx+c=0（a≠0）无实根只有一种情况，此时a≠0，b²-4ac＜0例2对于一元二次方程ax²+bx+c=0,根据下列情况判断方程根的情况：（1）当a,c异号时；（2）当a,c同号时，且满足（a-b）+|b-c|=0时.特别地，当Δ≥0时，方程有两个实数根.一元二次方程根的判别定理的应用1：不解方程判别方程的根的情况.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.【点评】其步骤是先将一元二次方程化为一般形式，然后计算Δ的值解：∵方程有两个不相等的实数根∴Δ=16-4m＞0且m≠0∴m＜4且m≠0当二次项系数中含有参数时，方程是一元二次方程或方程有两个实数根，则注意参数的取值不能漏掉二次项系数不为0这个隐含条件.【点评】例题3若关于x的一元二次方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围一元二次方程有两个实数根，参数的取值范围满足两个条件，①二次项系数不为0，②Δ≥0解：∵方程有两个实数根∴△=（2k+1）2-4k²=4k+1≥0k²≠0∴k≥-且k≠0{【点评】例题4如果关于x的方程k²x²-（2k+1）x+1=0有两个实数根，求k的取值范围？例题5已知于x的方程x²-x+2=0无实数根，（1）求k的取值范围（2）|-k-2|+值得注意的问题是，一元二次方程的二次项系数中含有参数时，二次项系数不能为0这个条件不能掉.一元二次方程根的判别定理的应用2：根据一元二次方程的根的情况确定方程中参数的值或取值范围【点评】方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，方程有两个相等的实数根，则Δ=0，方程没有实数根，则Δ＜0，特别地，方程有两个实数根，则Δ≥01.已知一元二次方程ax²+bx+c=0能用公式法求解，求a,c所满足的条件2.已知关于x二次方程（1-2k）x²-2x-1=0有实数根，求k的取值范围练一练3.若关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x²+6=0没有实数根，求满足条件的最小整数k.4.若a,b,c为△ABC的三边长，且关于x的方程a(1+x²)+2bx-c(1-x²)=0的两根相等，试判断的形状并证明.5.若关于x一元二次方程（a-2）x²-2ax+a+1=0没有实数根.求ax+3＞0的解集.（用含a的式子表示）解;∵方程没有实数根∴△=4a2-4（a-2）（a+1）=4a+8＜0a-2≠0∴a＜-2解不等式ax+3＞0ax＞-3∴不等式的解集为:x＜{7.已知一元二次方程方程(ab-2b)x²+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等实根，求的值.6.已知方程(m-2)x2-x+=0,有两个实数根，求m的取值范围是.证明：Δ=4k²-4（k²-2）=2k²+8不论k为何值时，总有2k²≥0，则2k2+8＞0即：Δ＞0∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根例题6已知关于x的一元二次方程x²-2kx+k²-2=0求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根一元二次方程根的判别定理的应用之三：进行有关的证明【点评】Δ＞0方程有两个不相等的实数根Δ=0方程有两个相等实数根Δ＜0方程没有实数根Δ≥0方程有两个实数根解：∵a=1，b=m，c=m-2，∴△=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4，∵（m-2）2≥0．∴（m-2）2+4＞0，1.求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0都有两个不想等的实数根.∴无论m取任何值，关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0都有两个不相等的实数根．练习2.已知关于x的一元二次方程mx²+nx+p=0,其中m,n同号且m+n+p=0,求证：方程有两个不相等的实数根.3.已知a,b,c为△ABC的三边长，求证：方程bx²+2(a-c)x-(a+b-c)=0有两个不相等的实数根.例7求下列各式的最大值或最小值（1）-2x2+3x-2（2）2x2+3x+1一元二次方程根的判别定理的应用之四：求二次三项式的最大或最小值【点评】课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？1.一元二次方程的根的判别定理及逆定理Δ＞0方程有两个不相等的实数根Δ=0方程有两个相等实数根Δ＜0方程没有实数根特别地Δ≥0方程有两个实数根2.一元二次方程的根的判别定理及逆定理的应用1.关于x的方程x²-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是.m≤1课堂练习2.方程的根是（）A.B.C.D.D0263422xx3,221xx2,621xx2,2221xx621xx3.关于x的一元二次方程（m-1）x²+x+m²+2m-3=0有一个根为0，试求m的值.解：将x=0代入方程,得m²+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3,又∵m-1≠0，即m≠1.故m的值为-3.