专题二：平行四边形常用辅助线的作法(精排版)

1专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法一、知识点1．四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°.2．多边形的内角和与外角和定理：（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°.3．平行四边形的性质：四边形ABCD是平行四边形.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（4、平行四边形判定方法的选择5、和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.ABCD1234ABCDABDOC性质判定说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.2（2）利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.（3）利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.3（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例4、如图，在平行四边形ABCD中，点FE,在对角线AC上，且CFAE,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例5、如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果12AC，10BD，mAB，那么m的取值范围是（）A、111mB、222mC、1210mD、65m（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例6、已知：如图，四边形ABCD为平行四边形求证：222222DACDBCABBDAC图2图1OOECCABDABDEF图2图1OOECCABDABDEF321图4图3KPFEDCFEDABCBA4（7）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例7、已知：如右上图4，在正方形ABCD中，FE,分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：ABAP二、课堂练习：1、如图，E是平行四边形ABCD的边AB的中点，AC与DE相交于点F，若平行四边形ABCD的面积为S，则图中面积为S21的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个___________四边形．3、如图，AD，BC垂直相交于点O，AB∥CD，BC=8，AD=6，则AB+CD的长=___________。4、已知等边三角形ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，猜想：PD＋PE+PF=______，并证明你的猜想．5、平行四边形ABCD中，HFGE,,,分别是四条边上的点，且DHBCCFAE,,321图4图3KPFEDCFEDABCBA5试说明：EF与GH相互平分．6、如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H．试说明：GF∥EH．7、如图，已知ACAB，B是AD的中点，E是AB的中点．试说明：CECD28、如图，E是梯形ABCD腰DC的中点．试说明：ABCDABESS梯形21BDE69、已知六边形ABCDEF的6个内角均为120°，CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF=5cm，试求此六边形的周长．10、已知ABC是等腰三角形，AB=AC，D是BC边上的任一点，且,ABDEABCHACDF,，垂足分别为E、F、H，求证：CHDFDE11、已知：在ABCRt中，BCAB；在ADERt中，DEAD；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：DMBM且DMBM；（2）如果将图8-①中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．7MDBACE答案：例4、⑴连结BF⑵DEBF⑶证明：连结DFDB,,设ACDB,交于点O∵四边形ABCD为平行四边形∴OBDOOCAO,∵FCAE∴FCOCAEAO即OFOE∴四边形EBFD为平行四边形∴DEBF例5、解：将线段DB沿DC方向平移，使得CEDB,BEDC,则有四边形CDBE为平行四边形,∵在ACE中,12AC,10BDCE,mABAE22∴101221012m，即2222m解得111m故选A例6、证明：过DA,分别作BCAE于点E，BCDF的延长线于点F∴BCBEBCABBEBCBEABCEAEAC2)(22222222CFBCBCCDCFBCCFCDBFDFBD2)()(22222222图①图-②MDBACE8则BEBCCFBCDACDBCABBDAC22222222∵四边形ABCD为平行四边形∴AB∥CD且CDAB,BCAD∴DCFABC∵090DFCAEB∴DCFABE∴CFBE∴222222DACDBCABBDAC例7、证明：延长CF交BA的延长线于点K∵四边形ABCD为正方形∴AB∥CD且CDAB,ADCD,090DBCDBAD∴K1又∵090DAKD,AFDF∴CDF≌KAF∴ABCDAK∵ADDFCDCE21,21∴DFCE∵090DBCD∴BCE≌CDF∴21∵09031∴09032∴090CPB,则090KPB∴ABAP二、课堂练习1、C2、平行3、104、a5、分析：观察图形，EF与HG为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形HEGF是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到EF与GH相互平分。6、分析：观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形EHFG是平行四边形，平行四边形具有对边平行的性质可得GF∥EH．97、分析：延长CE至F，使EF＝CE，连结AF、BF，得四边形AFBC是平行四边形，利用平行四边形的性质证明△DBC≌△FBC即可。8、分析：过点E作MN∥AB，交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形，△ABE与四边形ABNM等底等高，所以S△ABE＝21S平行四边形ABNM，接下来说明S梯形ABCD＝S平行四边形ABNM即可。9、10、证明：过D点作DG⊥CH于G又DE⊥AB于E，CH⊥AB于H∴四边形DGHE为矩形∴DE＝GHEH∥DG∴∠B＝∠GDC又AB＝AC∴∠B＝∠ACB∴∠GDC＝∠ACB又∠DGC＝∠DFC＝90°CD＝DC（公共边）∴△CDG≌△DCF（AAS）∴DF＝CG10又CH＝CG＋GH∴CH＝DF＋DG（等量代换）11、平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形11（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点FE,在对角线AC上，且CFAE,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF⑵DEBF⑶证明：连结DFDB,,设ACDB,交于点O∵四边形ABCD为平行四边形∴OBDOOCAO,∵FCAE∴FCOCAEAO即OFOE∴四边形EBFD为平行四边形∴DEBF图2图1OOECCABDABDEF第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果12AC，10BD，mAB，那么m的取值范围是（）A111mB222mC1210mD65m解：将线段DB沿DC方向平移，使得CEDB,BEDC,则有四边形CDBE为平行四边形,∵在ACE中,12AC,10BDCE,mABAE22∴101221012m，即2222m解得111m故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形求证：222222DACDBCABBDAC证明：过DA,分别作BCAE于点E，BCDF的延长线于点F∴BCBEBCABBEBCBEABCEAEAC2)(22222222CFBCBCCDCFBCCFCDBFDFBD2)()(22222222则BEBCCFBCDACDBCABBDAC22222222∵四边形ABCD为平行四边形∴AB∥CD且CDAB,BCAD12∴DCFABC∵090DFCAEB∴DCFABE∴CFBE∴222222DACDBCABBDAC321图4图3KPFEDCFEDABCBA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD中，FE,分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：ABAP证明：延长CF交BA的延长线于点K∵四边形ABCD为正方形∴AB∥CD且CDAB,ADCD,090DBCDBAD∴K1又∵090DAKD,AFDF∴CDF≌KAF∴ABCDAK∵ADDFCDCE21,21∴DFCE∵090DBCD∴BCE≌CDF∴21∵09031∴09032∴090CPB,则090KPB∴ABAP第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有AED∽FEC,FAB∽FEC,AED∽FAB图6图5FONDDBACBACEFE第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线13例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD中，BNAN,BCBE31,NE交BD于F，求BDBF:解：连结AC交BD于点O,连结ON∵四边形ABCD为平行四边形∴2,BDODOBOCOA∵BNAN∴ON∥BC21且BCON21∴FOBFONBE∵BCBE31∴3:2:ONBE∴32FOBF∴52BOBF∴5:1:BDBF综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形