曲线积分与曲面积分习题及答案

1第十章曲线积分与曲面积分(A)1．计算Ldxyx，其中L为连接0,1及1,0两点的连直线段。2．计算Ldsyx22，其中L为圆周axyx22。3．计算Ldsyx22，其中L为曲线tttaxsincos，tttaycossin，20t。4．计算Lyxdse22，其中L为圆周222ayx，直线xy及x轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。5．计算Ldsyx3434，其中L为内摆线tax3cos，tay3sin20t在第一象限内的一段弧。6．计算Ldsyxz222，其中L为螺线taxcos，taysin，atz20t。7．计算Lxydx，其中L为抛物线xy2上从点1,1A到点1,1B的一段弧。8．计算Lydzxdyzydxx2233，其中L是从点1,2,3A到点0,0,0B的直线段AB。9．计算Ldzyxydyxdx1，其中L是从点1,1,1到点4,3,2的一段直线。10．计算Ldyyadxya2，其中L为摆线ttaxsin，taycos1的一拱(对应于由t从0变到2的一段弧)：11．计算Ldyxydxyx，其中L是：1）抛物线xy2上从点1,1到点2,4的一段弧；2）曲线122ttx，12ty从点1,1到2,4的一段弧。212．把对坐标的曲线积分LdyyxQdxyxP,,化成对弧和的曲经积分，其中L为：1）在xoy平面内沿直线从点0,0到4,3；2）沿抛物线2xy从点0,0到点2,4；3）沿上半圆周xyx22从点0,0到点1,1。13．计算Lxxdymxyedxmyyecossin其中L为ttaxsin，taycos1，t0，且t从大的方向为积分路径的方向。14．确定的值，使曲线积分dyyyxdxxyx4214564与积分路径无关，并求0,0A，2,1B时的积分值。15．计算积分Ldyyxdxxxy222，其中L是由抛物线2xy和xy2所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。16．利用曲线积分求星形线tax3cos，tay3sin所围成的图形的面积。17．证明曲线积分4,32,12232366dxxyyxdxyxy在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。18．利用格林公式计算曲线积分Lxxdyyexxdxeyxxyxxy2sinsin2cos222，其中L为正向星形线323232ayx0a。19．利用格林公式，计算曲线积分Ldyxydxyx63542，其中L为三顶点分别为0,0、0,3和2,3的三角形正向边界。20．验证下列dyyxQdxyxP,,在整个xoy平面内是某函数yxu,的全微分，并求这样的一个yxu,，dyyeyxxdxxyyxy128832322。21．计算曲面积分dxyx22，其中为抛物面222yxz在xoy平3面上方的部分。22．计算面面积分dszxxxy222，其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。24．求抛物面壳2221yxz10z的质量，壳的度为zt。25．求平面xz介于平面1yx，0y和0x之间部分的重心坐标。26．当为xoy平面内的一个闭区域时，曲面积分dxdyzyxR,,与二重积分有什么关系？27．计算曲面积分ydzdxxdydzzdxdy其中为柱面122yx被平面0z及3z所截的在第一卦限部分的前侧。28．计算dxdyzdxdzydydzx222式中为球壳22byax22Rcz的外表面。29．反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP,,,,,,化成对面积的曲面积分，其中是平面63223zyx在第一卦限的部分的上侧。30．利用高斯公式计算曲面积：1）dxdyzdzdxydydzx222，其中为平面0x，0y，0z，ax，ay，az所围成的立体的表面和外侧。2）xdydzzydxdyyx，其中为柱面122yx与平面0z，3z所围立体的外表面。31．计算向理穿过曲面流向指定侧的通量：41）kxzjyxizx222，为立体ax0，ay0，az0，流向外侧；2）kyxzjxzyizyx，为椭球面1222222czbyax，流向外侧。32．求向理场kxzjxyiaxy2coscos的散度。33．利用斯托克斯公式计算曲经积分xdzzdyydx其中为圆周，2222azyx，0zyx，若从x轴正向看去，这圆周取逆时针方向。34．证明02xzdzxydydxy，其中为圆柱面yyx222与zy的交线。35．求向量场kxyjyzxiyxa233，其中为圆周222yxz，0z。36．求向量场jyxziyzcossin的旋度。37．计算dzyxdyxzdxzy222222，其中为用平面23zyx切立方体ax0，ay0，ax0的表面所得切痕，若从ox轴的下向看去与逆时针方向。(B)1．计算Lyds，其中L为抛物线pxy22由0,0到00,yx的一段。2．计算Ldsy2，其中L为摆线ttaxsin，traycos一拱20t。53．求半径为a，中心角为24的均匀圆弧(线心度1)的重心。4．计算Lzds，其中L为螺线ttxcos，ttysin，tz20t。5．计算Ldszyx2221，其中L为空间曲线txtcos，tytsin，tz上相应于t从0变到2的这段弧。6．设螺旋线弹簧一圈的方程为taxcos，taysin，ktz20t，它的线心度为222,,zyxyzyx，求：1）它关于z轴的转动惯量zI；2）它的垂心。7．设L为曲线tx，2ty，3tz上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分LRdzQdyPdx化成对弧长的曲线积分。8．计算Lyxdyyxdxyx22，其中L为圆周222ayx(按逆时针方向绕行)。9．计算Lxdzzdyydx，其中L为曲线taxcos，taysin，btz，从0t到2t的一段。10．计算Ldyyxdxyx2222，其中L为||1xy20x方向为x增大的方向。11．验证曲线积分1,20,1222dyyxexdxyxeyy与路径无关并计算积分值。612．证明当路径不过原点时，曲线积分2,21,122yxydyxdx与路径无并，并计算积分值。13．利用曲线积分求椭圆12222byax的面积。14．利用格林公式计算曲线积分Ldyyxdxyx22sin，其中L是圆周22xxy上由点0,0到点1,1的一段弧。15．利用曲线积分，求笛卡尔叶形线axyyx3330a的面积。16．计算曲线积分Lyxxdyydx222，其中L圆周2122yx，L的方向为逆时针方向。17．计算曲面积分zds3，其中为抛物面222yxz在xoy平面上的部分。18．计算dszxyzxy，其中是锥面22yxz被柱面axyx222所截得的有限部分。19．求面心度为0的均匀半球壳2222azyx0z对于z轴的转动惯量。20．求均匀的曲面22yxz被曲面axyx22所割下部分的重心的坐标。21．计算曲面积分2222,,azyxdszyxfI，其中7222222,0,,,yxzyxzyxzyxf。22．计算yzdzdxxydydzxzdxdy，其中是平面0x，0y，0z，1zyx所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。23．计算dxdyzdxdzydydzx111，其中为椭球面1222222czbyax。24．计算dxdyyxdxdyxzdydzzy，式中为圆锥面zyx22hz0的外表面。25．设zyxu,,，zyxv,,是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，nu、nv依次表示zyxu,,，zyxv,,沿外法线方向的方向导数。证明：dsnuvnvudxdydzuvvu，其中是空间闭区域的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式。26．利用斯托克斯公式计算曲线积分dzxyzdyxzydxyzx222其中L是螺旋线taxcos，taysin，thz2，从0,0,0A到haB,0,的一段。27．设zyxuu,,是有两阶连续偏导数，求证：0gradurot。(C)1．求曲线的弧长axayarcsin，xaxaazln4从0,0O到000,,zyxA。2．计算Ldsy21，其中L为悬链线axachy。3．求均匀的弧textcos，teytsin，tez0t的重心坐标。84．计算LdyxRxyxdxxRy22222ln24，其中e是沿222Ryx由点0,RA逆时针方向到0,RB的半圆周。5．设xf在,内有连续的导函数，求Ldyxyfyyxdxyxyfy11222，其中L是从点32,3A到点2,1B的直线段。6．计算,2,122cossincos1dyxyxyxydxxyxy，沿着不与oy轴相交的路径。7．已知曲线积分Ldyxxfdxxxyxsin与路径无关，xf是可微函数，且02f，求xf。8．设在平面上有2322yxjyixF构成内场，求将单位质点从点1,1移到4,2场力所作的功。9．已知曲线积分LdyxxdxyI333，其中L为222Ryx0R逆时针方向曲线：1）当R为何值时，使0I？2）当R为何值时，使I取的最大值？并求最大值。10．计算dxdyzxzdzdxzxydydzzxxI222111其中为曲面22yxz10z的下侧。11．计算dsxyz||，其中的方程为1||||||zyx。12．计算曲面积分dydzxI12，其中是曲线xy10x绕x轴旋转一周所得曲面的外侧。913．计算Ldyyxxdxxyx2222，其中L为由点0,4A到点0,0O的上半圆周xyx42214．证明Lyxdyxydxxy333与路径无关，其中L不经过直线0yx，且求3,20,1333yxdyxydxxy的值。15．求圆锥22yxzhz0的侧面关于oz轴的转动惯量。16