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1第三讲：公因数和公倍数一、公约数的概念与最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。0被排除在约数与倍数之外。例如：12的约数有：1,2,3,4,6,1218的约数有：1,2,3,6,9,1812和18的公约数有：1,2,3,6，其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=61．求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711，22252237，所以(231,252)3721；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：15156002315；6003151285；315285130；28530915；301520；所以1515和600的最大公约数是15．2．最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．二、公倍数的概念与最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12的倍数有：12,24,36,48,60,72,84...18的倍数有：18,36,54,72,90...12和18的公倍数有：36,72...，其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=361.求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；知识点拨2例如：2313711，22252237，所以22231,252237112772；②短除法求最小公倍数；例如：2181239632，所以18,12233236；③[,](,)ababab．2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果m为A、B的最大公约数，且Ama，Bmb，那么ab、互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①ABmambmmab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是A、B、AB、AB及最小公倍数的约数．2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即(,)[,]ababab，此性质比较简单，学生比较容易掌握。3．对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：567210，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：678336，而6,7,8的最小公倍数为3362168性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。【例1】两根电线分别长24m和16m，现将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余，剪成的小段最长可以是多少米？例题精讲3【巩固】求12和18的最大公因数。【例2】找出下面每组数的最大公因数，你有什么发现吗？4和206和367和86和19【巩固】说出下面各组数的最大公因数。4和1615和22【例3】用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？【巩固】一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？【例4】有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？【巩固】有三根钢管，它们的长度分别为240cm，200cm，480cm，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？4【例5】一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。现在要把它裁成一块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？【巩固】把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形而无剩余，至少能裁几块？【例6】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？（辗转相除法）【巩固】用辗转相除法判断1547和3135是否互质。【例7】用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。【巩固】求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？【例8】求21672和11352的最小公倍数。【例9】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．5【巩固】两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？【巩固】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【例10】两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？【巩固】已知两数的最小公倍数是210，它们的积是1260，它们的和是72，求这两个数的差？【例11】两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数．【例12】甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次，有一天，他们三人正好在图书馆相会。问至少再过多少天他们三人又会在图书馆相会？【巩固】1路、2路和5路都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线的车同时发车？【巩固】甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒，问：再过多长时间三人第二次从同时从起点出发？6【例13】一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形。这所学校至少有多少人？【巩固】有一批乒乓球，总数在1000个以内，4个装一袋，5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？【例14】学校六年级有若干同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年级最少有多少人？【巩固】一袋糖，平均分给15个小朋友或20各小朋友后，最后都余下5块。这袋糖至少有多少块？【巩固】一个数能被3、5、7整除，但是被11除余1，这个数最少是多少？【例15】一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150-200颗之间，问共有多少颗？【巩固】五一班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人，请你算一算，五一班有多少位同学？【巩固】有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。这批水果至少有多少个？【例16】从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50,米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？7【巩固】插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？【例17】在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【巩固】父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米。在120米内一共留下多少个脚印？