《二项分布及其应用-条件概率》

2.2.1《二项分布及其应用-条件概率》探究：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？12121221211221{,,,,,},YNNNYNNNYNYNYNYNNNNYN若抽到中奖奖券用表示，没有抽到用表示，那么所有可能的抽取情况为2112{,}BNNYBNNY用表示最后一名同学抽到中则奖奖券，()1()()3nBPBn由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为：思考：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名抽到中奖奖券的概率又是多少？不妨设“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A，12122121{,,,}ANYNNNYNYNNNY则()1(|)()2nBPBAnA最后一名同学抽到奖券的概率为12,YNN若抽到中奖奖券用表示，没有抽到用表示，1221{}BNNYNNYB用表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则，注：P(B|A)表示在事件A发生的条件下B发生的概率分析：若不知道第一名同学的抽奖结果，则样本空间为若知道了第一名同学的抽奖结果，则样本空间变成但因为最后一名中奖的情况还是含有两个基本事件故概率会发生变化121212212121{,,,,,}YNNNYNNNYNYNYNNNNY思考：你知道第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学的抽奖结果吗？12122121{,,,}ANYNNNYNYNNNY1221{}BNNYNNY，求P(B|A)的一般思想因为已经知道事件A必然发生，所以只需在A发生的范围内考虑问题，即现在的样本空间为A。因为在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生。故其条件概率为()(|)()nABPBAnA又由古典概率的公式知道()/()()(|)()/()()nABnPABPBAnAnPA()()()=()=()()nABnAPABPAnn，则一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，则()()()PABPBAPA称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。注意：（1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1（2）如果B和C是互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)（3）要注意P(B|A)与P(AB)的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键。条件概率的定义：在原样本空间的概率概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，B都发生了区别：样本空间不同：在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为。()(|)()nABPBAnA()()=()nABPABn例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.（1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为1154()20nCC1134()12nACC根据分步乘法计数原理，()123()()205nAPAn例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；11322()6nABCC（）()63()()2010nABPABn解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率。（3）解法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为2153103)()()(APABPABP直接利用条件概率公式计算例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率。解法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以21126)()()(AnABnABP解法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、两道文科题故第二次抽到理科题的概率为1/2利用古典概率计算利用古典概率计算例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。112(12)()2iiAiAAAA解：设第次按对密码为事件，则表示不超过次就按对密码。12iAAA（1）因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得112()()()PAPAPAA1911101095例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。B（2）用表示最后一位按偶数的事件，则112()()()PABPABPAAB14125545112(12)()2iiAiAAAA解：设第次按对密码为事件，则表示不超过次就按对密码。练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设A={甲地为雨天}，B={乙地为雨天}，则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，1()12%2()()18%3PABPABPB（）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是2()12%3()()20%5PABPBAPA（）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是小结：1、条件概率的定义：2、条件概率的计算公式()()()nABPBAnA()()PABPA设A，B为两个事件，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率就叫做的条件概率