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问题：如图，已知菱形ABCD，E是BC边上一点，连接AE交BD于点F.当∠ABC=90°时，过点C作CG⊥AE交AE的延长线于点G，连接DG.求证：∠BDG=∠BAE.ABCDEFG图3－隐圆大合集“圆”来如此简单！定远第一初级中学钱传福定点定长走圆周，定线定角跑双弧。三点（不共线）必有外接圆，对角互补也共圆。有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相识。“圆”出“缘”生关系现，“圆”成“缘”通真相明。确定隐圆的条件：一、定点+定长1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。2.应用：（2）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。简析：221由AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD得DE=BC=1，易求BD=。ABCCAB（1）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是_________.简析：E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为。2.应用：3.练习：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F作边AC上，且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值为_____.M3.练习：如图，已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°，求∠CAD的度数。二、定线(段）+定角1.依据：与一条定线（段）的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。特别地：当定角为直角时，定弦即为直径。2.应用：（1）O2.应用：（2）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时，求DP的长.AB为定线，∠APB为定角（90°），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。简析：3.练习：如图，∠XOY=45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB=2，那么OC的最大值为______.AB为定线，∠XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=√3+1+√2。简析：三、三点（不共线）定圆1.依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。2.应用：ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，CD=6，求AD的长。作ΔABC的外接圆，如下图，易得AD=7+5=12。简析：1.依据：对角互补（或一边所对的两个角相等）的四边形四个顶点共圆。四、四点共圆2.应用：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。因∠DCE=∠DFE=∠DPE=90°，知D、F、C、E、P共圆，如下图，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∽ΔDCF，CF：AP＝CD：AD，得CF＝1.5。简析：12345练习：如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE，AF分别交射线CB，DC于点E，F，交直线BD于M，N.（1）如图1，当点E，F在边BC，CD上时，求证：△AMN∽△DFN.（2）在（1）的条件下，求证：AE=AN.（3）如图2，当E，F在边CB，DC的延长线上，AM=3时，求AF的长.2小试牛刀：学了这么多，该你试一试了！1.如图,△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝6,BC＝8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为_____.图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO＝5，当BO为直径时最小，所以EF最小为5.简析：2.如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠ABC＝30°,AB＝6,点D在AB边上,点E是BC边上一点(不与点B、C重合),且DA＝DE,则AD的取值范围是_____。小试牛刀：因DA=DE，可以D点为圆心以DA为半径作圆，则圆D与BC相切时，半径DE最小。E向B点移动半径增大直至D到B处（不含B点），得2≤AD3。简析：如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.(1)求证：CM＝EM；(2)若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；(3)如图②，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.图①图②