北邮概率论与随机过程-2010—2011学年第2-学期期末A卷

-1-北京邮电大学2010——2011学年第2学期3学时《概率论与随机过程》期末考试（A）一．填空题.1设随机事件,AB满足()()PABPAB,且()PAp,则()PB1-p2.设每次实验中事件A出现的概率为p,在三次独立重复试验中,A至少出现一次的概率为1927,则p=1/33.随机变量X服从参数为1的泊松分布(1),则2(())PXEX=112e4.设随机变量X服从正态分布2(10,0.02)N，记221()2uxxedu，且已知(2.5)0.9938，则((9.95,10.05))Px０．９８７６5.已知随机变量X服从均匀分布(1,6)U，则矩阵20001010AX的特征值全为实根的概率为４／５6.已知随机变量X的密度函数为||1(),2xfxex，则(01)PX11(1)2e7.设连续型随机变量X的分布函数为()Fx，则0y时，2ln(())YFX的概率密度函数()Yfy＝212ye8.已知随机变量X服从均值为１的指数分布，则min{,2}YX的分布函数()Fy＝-2-0,0,1,02,1,2.xxexx9.已知随机变量(,)XY服从二维正态分布22(1,2,1,2,0.5)，则21ZXY的概率密度函数()fz＝2(5)24126xe10.设,XY的联合概率密度为(2)2,0,0,(,)0,xyexyfxy其它，,则概率(1,2)PXY=14(1)ee11.设随机过程2()XtXYtZt,其中,,XYZ是相互独立的随机变量,且均值都为零,方差都为1,则相关函数(,)XRst=221stst12.设{(),0}Wtt是参数为2的维纳过程,则[((3)(1))((4)(1))]E=2213.设平稳高斯过程{().0}Xtt的均值为零,相关函数为2||1()4XRe,则对任意固定的0t,0()Xt的概率密度函数()fx=2222xe14.设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{}nX的状态空间是{0,1,2},平稳分布为111,,244,若000111(0),(1),(2)244PXPXPX,则方差100()DX=11/1615.设}),({ttX为平稳随机过程，功率谱密度为212)(XS,则其平均功率为1二.（１5分）-3-设某餐厅每天接待300名顾客,并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布(40,100)U,且顾客的消费相互独立.求:(1)该餐厅的日营业额的期望和方差;(2)平均每天有多少位顾客消费额超过50元;(3)用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率.解.(1)设,1,2,...,300iXi是第i位顾客的消费额,则由题意,1,40100,()600,ixXfx其它，设X表示该餐厅的日消费额,则3001.iiXX因为()70iEX,则21300300(60/12)90000.DYDX21000EX(5’)(2)设Y是消费额超过50元的顾客数.则1(300,(50))(300,5/6)YBPXB,所以300(5/6)250.EY(5’)(3)由中心极限定理得12300123001230012300(...21750)...210002175021000(...)(...)1(2.5)0.0062.PXXXXXXPDXXXDXXX(5’)三．（１5分）设二维随机变量(,)XY具有概率密度(1),0,0,(,)30,xykexyfxy其他.-4-求(1)系数k;(2)边缘概率密度(),()XYfxfy，并问,XY是否独立,为什么?(3)求条件概率密度|(|)YXfyx，|(|)XYfxy.解.(1)0,01(,)3xYfxydxdyk(3’)(2)(1)0,0,()(,)0,0,xyxXxedyexfxfxydyx(1)201,0,(1)()(,)0,0,xyYxedxyyfyfxydxy(6’)由于(,)()()XYfxyfxfy,所以不独立.(3)当0x时,(1)|(,)(|)()xyxyYXxXfxyxefyxxefxe,当0y时,(1)2(1)|2(,)(|)(1)1()(1)xyxyXYYfxyxefxyyxefyy(6’)四．（１5分）设齐次马氏链}0,{nXn的状态空间为}2,1,0{E，一步转移概率矩阵为110221102211022P，初始分布为0001{0}{1}{2}3PXPXPX(1)求124{1,1,2}PXXX;(2)求02,XX的相关系数02XX;-5-(3)证明马氏链}0,{nXn具有遍历性，并求其极限分布．解(1)2111244111(2)424111442PP,124{1,1,2}PXXX=20111120()(2)0iiPXippp(5’)(2)2X的分布率(2)(0)(2)(1/3,1/3,1/3)ppP02,XX的联合分布率0X\2X01201/61/121/1211/121/61/1221/121/121/602021,2/3EXEXDXDX027/6EXX0202021/4EXXEXEXDXDX(5’)(3)由P(2)知马氏链遍历,由01210,0,1,2,iPi得平稳分布为(1/3,1/3,1/3).(5’)-6-五．（１0分）设某线性系统的脉冲响应函数为22,0()0,0tethtt，将平稳过程)()(，，ttX输入到该系统后,输出平稳过程)()(，，ttY的谱密度为424()1336YS，求：(1)输入平稳过程的)()(，，ttX的谱密度)(XS；(2)自相关函数)(XR；(3)输入与输出的互谱密度)(XYS．解：2222,024()(),|()|240,0tethtHHit，(1)22()1(),|()|(9)YXSSH(4分)(2)3||11()(),26iXXRSede(3分)(3)22()()()(2)(9)XYXSHSi．(3分)