数学分析与高等代数考研真题详解--浙江大学卷

博士家园考研丛书（2010版）全国重点名校数学专业考研真题及解答数学分析与高等代数考研真题详解浙江大学数学专卷博士家园编著博士家园系列内部资料《博士家园数学专业考研丛书》编委会这是一本很多数学考研人期待已久的参考书，对于任何一个想通过考取重点院校的研究生来进一步深造的同学来说，历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。为了帮助广大同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从2004年开始大量收集数学专业的考研真题，其中数学分析和高等代数两门专业基础课昀为重要。有些试题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园(),这个互联网平台，征集到了昀新昀全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无闻的广大数学工作者，我们向他们表示昀崇高的敬意！国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成21世纪的数学大国。”每年有上万名数学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更多更新的信息与资源建立了专业网站——博士家园网站。本站力图成为综合性全国数学信息交换的门户网站，旨在为科研人员和数学教师服务，提供与数学研究和数学教学有关的一切有价值的信息和国内外优秀数学资源检索，经过几年的不懈努力，成为国内领先、国际一流的数学科学信息交流中心之一。由于一般的院校可能提供一些往年试题，但是往往陈旧或者没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载昀新试题：博士家园主页网址：博士数学论坛网址：数学资源库:欢迎投稿，发布试题，对于本书疏漏之处欢迎来信交流，以促改正：@163.com博士家园二零一零年二月2博士家园系列内部资料数学分析与高等代数考研真题详解浙江大学考研数学专卷目录1999年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答2002年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答2003年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答2005年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答2005年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答2007年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答2007年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答2008年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答2009年招收硕士研究生复试试题常微分，复变，实变部分2010年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题2010年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答2博士家园系列内部资料浙江大学1999年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答3博士家园系列内部资料1999年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答一：证明：充分性：若()fx能表示成一个整数多项式的平方，显然()fx在有理数域上可约必要性：由于()fx在有理数域上可约，在存在整数系数多项式()(),gxhx有()()()fxgxhx=，()()()()0,0gxhx∂∂，由于1in∀≤≤，()1ifa=，即，则()()1iigaha=()()0iigaha−=令()()()Fxgxhx=−，则()(),Fxn∂或()0Fx=，由于有个不同的数为n()0Fx=的根，从而为零多项式，即()Fx()()gxhx=，即()()2fxgx=，就有()fx能表示成一个整数多项式的平方二：解；()111TTnEαααα−=−=()2由于TTTTTTnnnnEEEαααααααααααα⎡⎤⎡⎤−+=−+−⎣⎦⎣⎦E=，从而1TTnnEEααα−⎡⎤⎡−=+⎣⎦⎣α⎤⎦三：证明：(由于存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，有)1m1Pn2P[]120mAPEP=，即[][]1120000mnmP2APPEE−⎡⎤==⎢⎥⎣⎦PP，令1200nmPQE−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然可逆，则Q[]0mAEQ=()2令，显然可知10mEBQ−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦mABE=4博士家园系列内部资料四：证明：nxP∀∈，不妨设1niiixaα==∑，又xxAxAx=−+，则1niiiAxaAα==∑，从而，又2AxV∈()()20AxAxAAx−=−=，从而可知1xAxV−∈即12xVV∈+，即，任取1nPVV⊆+221xVV∈∩，所以0Ax=，且存在，有1,,nkki1niixkAα==∑，又2AA=，从而可知211nniiiiiiAxkAkAαα====∑∑x=，从而0x=，即{}120VV=∩，所以12nPVV=⊕五：证明：由于B正定，则存在可逆矩阵C有TnCBCE=，又由于A对称，从而TCAC也对称，即存在正交矩阵，使F{}1,,TTnFCACFdiagDλλ==，即()(),TTnCFBCFDCFACFE==，若取()11TSFC−−=，则有,TTBSSASDS==六：证明：(若)1A的一个特征值0λ，有01λ，则此时0nEAλ−为严格对角占优矩阵，即0nEAλ−可逆，这与0λ为A的特征值矛盾，从而，1λ≤()2，令[]111Tx=，则110111niinniiaAxxxaλ==⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑，从而0λ为A的一个特征值七：证明：由于A正定，从而，存在可逆矩阵C有，TACC=，5博士家园系列内部资料()()()()(()()()()222,,TTTTTTTTTACCCCCCCCCCCAA),Cαβαβαβααβααββααβββ∴==≤==由于上述不等式，等号成立时候当且仅当，存在数，使12,kk120kCkCαβ+=，即120kkαβ+=，即,αβ线性相关八：证明：(设)1A的特征多项式为()fλ，B的特征多项式为()gλ，由于,AB无公共特征值，从而，所以()()(),1fgλλ=()fB可逆，由于AXXB=，故对于，均有n∗∀∈nnAXXB=，就有()()fAXXfB=，所以()00XfBX=⇒=，即AXXB=只有零解；()2,,nnxyk×∀∈∈，由()()()xyAxyxyAAxxAAyyAxyΑ+=+++=+++=Α+Α()()()()AkxAkxkxAkAxkxAkAxxAkx=+=+=+=Α所以Α是一个线性变换，由于A和A−无公共特征根，即根据()1的结论就有()AXXA=−只有零解，即只有零解，从而0AXXA+=Α可逆，即Α为一个可逆线性变换浙江大学二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：数学分析一、（共30％）（A）（10％）用“δε−语言”证明03)1)(2(lim1=−−−→xxxx；（B）（10％）给出一个一元函数，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之；f（C）（10％）设为二元函数，在附近有定义，试讨论“在处可微”与“在附近关于),(yxf),(00yx),(yxf),(00yx),(yxf),(00yxx、的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例。y二、（共30％）6博士家园系列内部资料（A）（5％）设12)(++=xxxf，数列{}nx由如下递推公式定义：10=x，，，1，，，求证：)(1nnxfx=+0(=n2)2lim=∞→nnx。（B）（5％）求21coslimxxx⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∞→。（C）（5％）求，，1，，，)0()(nf0(=n2)0)0(=f，21)(xexf−=（当时）。0≠x（D）（5％）求不定积分21xdx+∫。（E）（5％）证明：∑∞==11)(nxnxς在),1(∞上连续可微。三、（共20％）（A）（10％）求第一型曲面积分∫∫=++−++=2222222)(RzyxhzyxdSI，其中。Rh≠（B）（10％）设a、b、为三个实数，证明：方程的根不超过三个。ccbxaxex++=2四、（共20％）设，求证：xxxxfnncoscoscos)(2+++=（A）（10％）对任意自然数，方程n1)(=xfn在)3/,0[π内有且仅有一个正根；（B）（10％）设∈nx)3/1,0[是1)(=xfn的根，则3/limπ=∞→nnx。浙江大学二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题数学分析解答一、（A）证明：0ε∀，取min{,1}2εδ=，则当|1|xδ−时，2|||1|23xxxδε−×−≤−。（B）解：定义[0上的函数，,1)1/,/,,()00qxpqpqRx=⎧⎪=⎨⎪⎩均为互质正整数,x为无理数,x=0令()([])fxRxx=−，（[表示取整数部分）]ixR∀∈。要证在有理点都不连续，在无理点都连续，只需证明，f0[0,1)x∀∈0lim()0xxRx→=。事实上，对任意正数0ε，只有有限个正整数满足1/qqε，又，故在[0上/pq1,1)7博士家园系列内部资料满足()Rxε的点只有有限个，设为1x，2x，...，sx。令10200min{||,||,...,||}sxxxxxxδ=−−−，则当0||xxδ−时，必有()Rxε≤，这就证明了。0lim()0xxRx→=（C）解：（1）可微蕴含偏导数存在设在处可微，即),(yxf),(00yx(,)fxy满足000000(,)(,)()()(||||)fxyfxyaxxbyyoxxyy−=−+−+−+−，00(,)(,)xyxy→。令0yy=，0xx→，则有00000(,)(,)limxxfxyfxyaxx→−=−，即在附近关于),(yxf),(00yxx的偏导数存在，类似可证关于偏导数存在。y（2）偏导数存在不蕴含可微有反例：令0,0(,)1,0xyfxyxy=⎧=⎨≠⎩，显然(,)fxy在点两个偏导数都存在，均为。(0,0)0假设(,)fxy在点可微，则有(0,0)(,)(||||)fxyoxy=+，。令(,(,)(0,0)xy→)xy沿直线yx=趋于(0，则,0)(,)1fxy≡，与(,)(||||)fxyoxy=+矛盾。二、（A）证明：首先由，01x=13/2x=，37/5x=，及12)(++=xxxf111x=++为单调递减函数，所以。([1,3/2])[1,3/2]f⊆又由于'21|()|||1/41(1)fxx=−≤+，[1,3/2]x∀∈，故()fx在上为压缩映射。所以{[1,3/2]}nx收敛。令limnnxx→∞=，在)(1nnxfx=+两边令可得n→∞()xfx=求解取正根，即有2lim=∞→nnx。（B）解：21limcosxxx→∞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠21lncos2limxxxe→∞=21limlncos2xxxe→∞=，由于21limlncos2xxx→∞21lncoslim2xxx→∞=洛笔达法则23111)(sin)(1coslim22xxxxx→∞×−×−−×1/4=−，于是21limcosxxx→∞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠1/4e−=。8博士家园系列内部资料（C）解：首先当时，0≠x2211'1311()2()xxfxepexx−−==，其中11()px表示'()fx所对应的1x的多项式。我们断言当时0≠x()()nfx必可表为1x的多项式和21xe−的乘积的形式，即有21()1()()nxnfxpex−=，其中1()npx为()()nfx所对应的1x的多项式。事实上，由求导运算的性质，任意关于1x的多项式1()px对于x的导函数都是关于1x的多项式。并且21xe−对于x的导函数也可表为1()px21xe−的形式，所以断言是成立的。下面用归纳法证明nN∀∈，()()nfx0=。首先2221'011(0)limlimlim02xttxt