【创新设计】2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第4讲 定积分与微积分基本定理课件 理

第4讲定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.知识梳理1.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式i＝1nf(ξi)Δx=i＝1nb－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作__________，即abf(x)dx＝___________.abf(x)dx1limnnibanf(ξi)(2)定积分的几何意义f(x)abf(x)dx的几何意义f(x)≥0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的____________的面积f(x)＜0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的______f(x)在[a，b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积__________位于x轴下方的曲边梯形的面积曲边梯形相反数减去2.定积分的性质(1)abkf(x)dx＝____________(k为常数).(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝________________________.(3)abf(x)dx＝_______________＋cbf(x)dx(其中a＜c＜b).kabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x)dx3.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝____________.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x)ba，即abf(x)dx＝F(x)ba＝_______________.F(b)－F(a)F(b)－F(a)诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt()(2)若f(x)是偶函数，则－aaf(x)dx＝20af(x)dx()(3)若f(x)是奇函数，则－aaf(x)dx＝0()(4)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是01(x2－x)dx.()√√√×2.(人教A选修2－2P60习题改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是()A.10t20B.5t20C.103t20D.53t20000220000d10d55.|tttttttt答案B解析S=3.由y＝cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为______________.解析如图，阴影部分的面积为S＝π20cosdxx－3π2π23ππ22cosdcosdxxxx.答案S＝π20cosdxx32π23π22cosdcosdxxxx－4.若0Tx2dx＝9，则常数T的值为________.解析0Tx2dx3013|Tx＝13×T3＝9.∴T3＝27，∴T＝3.答案35.(2015·天津卷)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________.解析如图，阴影部分的面积即为所求，由y＝x2，y＝x，得A(1，1).故所求面积为S＝01(x－x2)dx＝12x2－13x30T＝16.答案16考点一定积分的计算【例1】(1)(2016·东营模拟)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈（1，2]，则02f(x)dx等于()A.34B.45C.56D.不存在(2)定积分039－x2dx的值为________.解析(1)如图，02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx＝13x310)＋2x－12x221)＝13＋4－2－2＋12＝56.(2)由定积分的几何意义知，039－x2dx是由曲线y＝9－x2，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积.故039－x2dx＝π·324＝9π4.答案(1)C(2)9π4规律方法(1)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分；④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.【训练1】(1)已知f(x)＝2x＋1，x∈[－2，2]，1＋x2，x∈[2，4].若k3f(x)dx＝403，则k的值为()A.0B.0或－1C.0或1D.－1(2)(2016·湖北省重点中学高三阶段性统一考试)若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则02f(x)dx＝________.解析(1)∵23f(x)dx＝23(1＋x2)dx＝223＜403，∴当k≥2时，k3f(x)dx＜403，∴k＜2，∴k3f(x)dx＝k2(2x＋1)dx＋23(x2＋1)dx＝403，化简得k2＋k＝0，解得k＝0或k＝－1.(2)因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1).所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.所以f(x)＝x3－3x2.故02f(x)dx＝02(x3－3x2)dx＝x44－x320＝－4.答案(1)B(2)－4考点二运用定积分求平面图形的面积【例2】(1)(2015·唐山质检)已知曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积为S，则S＝________.(2)已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k＝________.解析(1)由y＝x，y＝2－x得交点A(1，1)；由y＝2－x，y＝－13x得交点B(3，－1).(2)由y＝x2，y＝kx，得x＝0，y＝0或x＝k，y＝k2，则曲线y＝x2与直线y＝kx(k0)所围成的曲边梯形的面积为0k(kx－x2)dx＝k2x2－13x3k0＝k32－13k3＝43，即k3＝8，∴k＝2.答案(1)136(2)2故所求面积S＝130111d2d33xxxxxx31322201211214132.3633636||xxxx规律方法利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.【训练2】(1)由曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面图形的面积是()A.1B.π4C.223D.22－2(2)(2016·日照模拟)如图，由两条曲线y＝－x2，y＝－14x2及直线y＝－1所围成的平面图形的面积为________.解析(1)由sinx＝cosxx∈0，π2，解得x＝π4，故图中阴影部分的面积S＝4204(cossin)d(sincos)dxxxxxx－－＝(sinx＋cosx40|＋(－cosx－sinx)24|＝sinπ4＋cosπ4－cos0＋－cosπ2－sinπ2－－cosπ4－sinπ4＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)(2)由y＝－x2，y＝－1，得交点A(－1，－1)，B(1，－1).由y＝－14x2，y＝－1，得交点C(－2，－1)，D(2，－1).∴面积S＝201－14x2＋x2dx＋12－14x2＋1dx＝答案(1)D(2)4333120142.4123||xxx考点三定积分在物理中的应用【例3】(2016·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.1＋25ln5B.8＋25ln113C.4＋25ln5D.4＋50ln2解析令v(t)＝0，得t＝4或t＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s＝047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln（1＋t）40＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5(m).答案C规律方法定积分在物理中的两个应用：(1)求物体做变速直线运动的位移，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝abv(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝abF(x)dx.【训练3】一物体在力F(x)＝5，0≤x≤2，3x＋4，x＞2(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________焦.解析由题意知，力F(x)所做的功为W＝04F(x)dx＝025dx＋24(3x＋4)dx＝5×2＋32x2＋4x42＝10＋32×42＋4×4－32×22＋4×2＝36(焦).答案36[思想方法]1.求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强.(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a).(3)利用定积分的几何意义求定积分.2.求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形.(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.(4)计算定积分.[易错防范]1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷.