最全经典不等式证明的基本方法

1不等式和绝对值不等式一、不等式1、不等式的基本性质：①、对称性：传递性：_________②、，a+c＞b+c③、a＞b，，那么ac＞bc；a＞b，，那么ac＜bc④、a＞b＞0，那么，ac＞bd⑤、ab0，那么anbn.（条件）⑥、a＞b＞0那么（条件）2、基本不等式定理1如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。定理2（基本不等式）如果a，b0，那么当且仅当a=b时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。结论：已知x,y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等”的条件。3、三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：abbacacbba,Rcba,0c0c0dc2,nNn2,nNn2abab214sp33,,3abcabcRabcabc定理如果，那么，当且仅当时，等号成立。即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。212122,,,,,nnnnnaaaaaaaanaa11把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数a它们的算术平均不小于它们的几何平均，即：当且仅当a时，等号成立。2任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立。（绝对值三角不等式）如果a,b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。2、绝对值不等式的解法（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法：①换元法：令t=ax+b,转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段讨论法：①用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法 00||(0)()axbaxbaxbccaxbcaxbc或00||(0)()axbaxbaxbccaxbcaxbc或型不等式的解法和）（cbxaxcbxax23典型例题例1解不等式例2解不等式||x+3|-|x-3||3。例3解不等式|x2-3|x|-3|1。例4求使不等式|x-4|+|x-3|a有解的a的取值范围。例54不等式证明的基本方法知识点一：比较法比较法是证明不等式的最基本最常用的方法，可分为作差比较法和作商比较法。1、作差比较法常用于多项式大小的比较，通过作差变形（分解因式、配方、拆、拼项等）判断符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小.理论依据：①；②；③。一般步骤：第一步：作差；第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零.如果差的符号无法确定，应根据题目的要求分类讨论.第四步：得出结论。注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。2、作商比较法常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商变形（约分、化简）判断商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）.理论依据：若、，则有①；②；③.基本步骤:第一步：判定要比较两式子的符号第二步：作商第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论.第五步：得出结论。注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。知识点二：分析法分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种方法.思维过程：“执果索因”.证明格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。适用题型：当所证的不等式的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明不等式。5知识点三：综合法综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题。思维过程：“执因索果”适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直接联系时，常常采用综合法证明不等式.知识点四：反证法反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确。适用题型：适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假。注意：反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.知识点五：放缩法放缩法是指在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当的放大（或缩小），以此来简化不等式，达到证明的目的。理论依据：不等式的传递性：ab,bcac，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。规律方法指导1、不等式证明的常用方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，换元法等。2、反证法的证明步骤：①否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立；②推出矛盾：由结论反面成立出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾；③否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立；④肯定结论：原命题正确。3、放缩法的常用技巧：①在恒等式中舍掉或者加进一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；例如：③应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩；例如：f(x)为增函数，则f(x-1)f(x)f(x+1)④应用基本不等式进行放缩。例如：若，则有；6若，则有。这两个结论是实现“累差法”、“累商法”、“降幂”等转化的重要手段经典例题透析类型一：比较法证明不等式1、用作差比较法证明下列不等式：（1）；（2）(a，b均为正数，且a≠b)思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2,b2,ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。证明：（1）当且仅当a=b=c时等号成立，（当且仅当a=b=c取等号）.（2）∵a0,b0,a≠b,∴a+b0,(a-b)20,∴，∴.总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。举一反三：【变式1】证明下列不等式：(1)a2+b2+2≥2(a+b)7(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)(3)a2+b2≥ab+a+b-1【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)22、用作商比较法证明下列不等式：（1）(a，b均为正实数，且a≠b)（2）（a，b，c∈，且a，b，c互不相等）证明：（1）∵a3+b30,a2b+ab20.∴，∵a,b为不等正数，∴，∴∴（2）证明：不妨设abc，则∴所以，总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简.作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形判定商式大于1或等于1或小于1结论。8举一反三：【变式1】已知a2，b2，求证：a+bab【变式2】已知a，b均为正实数，求证：aabb≥abba类型二：综合法证明不等式3、a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc证明：法一：由b2+c2≥2bc,a0,得a(b2+c2)≥2abc，同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc∵a,b,c不全相等，∴上述三个等号不同时成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.法二：∵a，b，c是不全相等的正数，∴a(b2+c2),b(c2+a2),c(a2+b2)均为正数，由三个数的平均不等式得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)∴不等式成立.总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。举一反三：【变式1】a,b,m∈R+，且ab，求证：.4、若ab0，求证：.9思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.证明：，∵ab0,∴a-b0,b0,,∴,∴（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）举一反三：【变式】x,y,z∈R+,求证：类型三：分析法证明不等式5、已知a,b0，且2ca+b，求证：证明：要证，只需证：即证：，a2-2ac+c2c2-ab，即证a2+ab2ac，∵a0，只需证a+b2c∵已知上式成立，∴原不等式成立。总结升华：1．分析法是从求证的不等式出发，分析使之成立的条件，把证不等式转化为判断这些条件是否具备的问题，若能肯定这些条件都成立，就可断定原不等式成立。2．分析法在不等式证明中占有重要地位，是解决数学问题的一种重要思想方法。3．基本思路：执果索因4.格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。举一反三：【变式1】求证：a3+b3a2b+ab2(a，b均为正数，且a≠b)10【变式2】a,b,m∈R+，且ab，求证：.【变式3】求证：【变式4】设x0，y0，x≠y，求证：类型四：反证法证明不等式6、已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于。思路点拨：此题目若直接证，从何处入手？对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考虑使用反证法。证明：假设原结论不成立，即，则三式相乘有：……①又∵0a,b,c1,∴.同理有：，以上三式相乘得，这与①矛盾，∴假设错误，原结论成立。11总结升华：反证法的基本思路是：“假设——矛盾——肯定”，采用反证法证明不等式时，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理都必须是正确的。由于本题题目的结论是：三个数中“至少有一个不大于”，情况比较复杂，会出现多个由异向不等式组成的不等式组，一一证明十分繁杂，而对结论的否定是三个数“都大于”，结构简单明了，为推出矛盾提供了方便，故采用反证法是适宜的。举一反三：【变式】已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0类型五：放缩法证明不等式7、若a,b,c,dR+，求证：思路点拨：记中间4个分式之和的值为m，显然，通过通分求出m的值再与1、2比大小是困难的，可考虑运用放缩法把异分母化成同分母。证明：记∵a,b,c,dR+，∴∴1m2，即原式成立。总结升华：证后半部分，还可用“糖水公式”，即进行放缩。常用的放缩技巧主要有：①f(x)为增函数，则f(x-1)f(x)f(x+1)；②分式放缩如；③根式放缩如举一反三：12【变式1】求证：【变式2】当n2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)1类型六：其他证明不等式的方法1.构造函数法8、已知a2，b2，求证：a+bab证明：令y=f(a)=a+b-ab=(1-b)a+b，∵1-b0，∴f(a)是减函数当a2时，f(a)f(2)=2-b0∴a+bab总结升华：不等式证明方法很灵活。分析不等式的结构特点，构造函数，借助函数单调性，使问题变得非常简单。举一反三：【变式】已知a≥3，求证：。类型六：一题多证13、若a0，b0，求证：思路点拨：由于a0，b0，所以求证的不