基本初等函数的导数公式的推导过程

基本初等函数的导数公式推导过程一、幂函数fxx（Q*）的导数公式推导过程命题若fxx（Q*），则1fxx．推导过程fx000112220011222011222011220limlimCCCClimCCCClimCCClimlimCCCxxxxxxfxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1111Cxxx所以原命题得证．二、正弦函数sinfxx的导数公式推导过程命题若sinfxx，则cosfxx．推导过程fx0000020limsinsinlimsincoscossinsinlimcossinsincossinlimcossinsincos1limcos2sincossin12sin1222limxxxxxxfxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx200002sincoscos2sinsin222lim2sincoscossinsin222lim2sincos22limsin2limcos22xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx当0x时，sin22xx，所以此时sin212xx．所以0limcoscos2xxfxxx，所以原命题得证．三、余弦函数cosfxx的导数公式推导过程命题若cosfxx，则sinfxx．推导过程fx0000020limcoscoslimcoscossinsincoslimcoscoscossinsinlimcoscos1sinsinlimcos12sin1sin2sincos222limxxxxxxfxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2000002sincos2sinsincos222lim2sinsincoscossin222lim2sinsin22limsin2limsin22limsin2sinsixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnx所以原命题得证．四、指数函数xfxa（a＞0，且1a）的导数公式推导过程命题若xfxa（a＞0，且1a），则lnxfxaa．推导过程fx0000limlimlim1limxxxxxxxxxxxxfxxfxxaaxaaaxaax令1xta，则1xat，即log1axt．且当0x时，1xa，10xa，即0t．所以原极限可以表示为：fx0010limlog11lim1log11limlog1xtaxtaxttatatattat又因为10lim1ettt，所以fx1logelnlnelnxaxxaaaaa所以原命题得证．五、对数函数logafxx（a＞0，且1a，x＞0）的导数公式推导过程命题若logafxx（a＞0，且1a，x＞0），则1lnfxxa．推导过程fx000000limlogloglim1limlog11limlog1limlog1limloglimxaaxaxaxaxaxxfxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx001log1limlog1xxaxxaxxxxxxxx令xtx．且当0x时，0t．所以原极限可以表示为：fx101limlog1tattx又因为10lim1ettt，所以fx11lne1logelnlnaxxaxa所以原命题得证．