大学物理第五章机械振动课件

振动振动::凡是描述凡是描述物体运动状态的物理量(如位移、电流等)，在某一数值附近作周期性变化的。第五章第五章机械振动机械振动所有振动中最简单是简谐振动。特点：有平衡点，且具有重复性。复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。机械振动机械振动::物体在一定位置附近来回往复的运动。5-1简谐振动一、简谐振动的基本特性：弹簧振子:kmoxXkxF22dtxdmkxmaF220dxkxdtm单摆:22dtdmlmamgfttmgmgftsin022lgdtd平衡位置O：物体受合外力为零的位置。较小5-1简谐振动一、简谐振动的基本特性：kmoxX1.受力特点:线性恢复力(F=-kx)2.动力学方程0222xtdxd弹簧振子:mk单摆:lg2T1T1T【例题1】系统开始处于静止状态，证明m在外界干扰下将作简谐振动。解：如图建立坐标，考虑m沿X轴正方向移动一小位移xsin0mgkxmaTmg1sin12TRTRJ)(02xxkTaRxRJmka20222xRJmkdtxd2RJmk2T1T1T分析步骤：1、找到平衡位置O，建立坐标系；2、沿X轴正方向移动一小位移x；3、证明【例题1】系统开始处于静止状态，证明m在外界干扰下将作简谐振动。解：如图建立坐标，考虑m沿X轴正方向移动一小位移xsin0mgkx2220dxxdt二、简谐振动的运动规律0222xtdxdx(t)=Acos(t+)结论：简谐振动——凡是位移是时间的正弦或余弦函数表示的运动都是简谐振动。cos()cos()AtAtT1.周期T：完成一次全振动所需的时间定义：物体受到的作用力与位移正比反向的振动。kxF谐振动（运动）方程谐振动微分方程2.振幅A：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。)sin(tAtddxx(t)=Acos(t+)222xA22020xA000vxttAtTAx2cos)2cos(T2称为角频率（或圆频率）21T称为振动频率3.相位(1)(t+)是t时刻的相位(2)是t=0时刻的相位------初相已知0tcos0Axsin0Av00xvtg由此可得出：Ax0cos确定其中的一个或三、简谐振动的速度、加速度1.速度)sin(tAtddx)2cos(tA2.加速度)2cos(tvmAvm)cos(222tAtdxda)cos(tam2Aam四、简谐振动的描述方法1.解析法由x=Acos(t+)已知表达式A、T、已知A、T、表达式2.曲线法oxmx0=0oA-Atx=/2T已知曲线A、T、已知A、T、曲线)22cos(tTAxcos0Axsin0Av相位差:=(2t+2)-(1t+1)对两同频率的谐振动=2-1初相差当=2k,(k=0,1,2,…),两振动步调相同,称同相当=(2k+1),(k=0,1,2,…),两振动步调相反,称反相。txoA1-A1A2-A2x1x2T同相x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相若=2-10,则x2比x1较早达到正最大,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。x2TxoA-Ax1ttttt123.旋转矢量法t+oxxt=tt=0x=Acos(t+)·AA1）旋转矢量的矢端在x轴上的投影点的运动可以表示物体在x轴上的谐振动。振幅为2）旋转矢量以角速度旋转一周，相当于谐振动的物体在x轴上作一次完全振动。所用的时间与谐振动周期相同。A旋转矢量法优点：直观地表达谐振动的各特征量。便于解题,特别是确定初相位。便于振动合成。3）t=0时刻，旋转矢量与x轴夹角为谐振动的初相，t时刻旋转矢量与x轴夹角t+为谐振动的相位。注意：旋转矢量本身并不在作谐振动，而旋转矢量矢端在x轴上的投影点在x轴上作谐振动。由x、v的符号确定所在的象限：A【例题2】一简谐振动的振幅为A，角频率为，以下列各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式：①物体过平衡位置向X轴正方向运动；②物体被压缩到最大位移处；③过处向X轴负方向运动；④过处向X轴正方向运动。2AA23XO解：先写出简谐振动的标准表达式，并画旋转矢量图)cos(tAx)sin(tAv①物体过平衡位置向X轴正方向运动；②物体被压缩到最大位移处；③过处向X轴负方向运动；④过处向X轴正方向运动。2AA23①②③④XOcos()2xAtcos()xAtcos()6xAtcos()3xAt)cos(tAx)sin(tAv0cosA0sinAv作业：5-2-10-19-24机械振动机械振动)cm(x24o解：作t=0时刻的旋转矢量0A求：质点运动到x=-12cm处所需最短时间。【例题3】已知：A=24cm,T=3s,t=0时0012cm,0,xv作x=-12cm处的旋转矢量A12-120AAs5.061minTt3minmin2tTt五、简谐振动的能量以水平弹簧振子为例kmoxX(1)动能221mEk)(sin2122tkA0,21min2maxkkEkAE2411kAdtETETttkk(2)势能（以平衡点为势能零点）221kxEp)(cos2122tkA情况同动能。pppEEE,,minmaxx=Acos(t+))sin(tAkmoxX(3)机械能221kAEEEpk简谐振动系统机械能守恒五、简谐振动的能量以水平弹簧振子为例x=Acos(t+))sin(tA221sin()2kEkAt221cos()2pEkAt22sindmglJdt为m绕O点转动的转动惯量。J六、复摆（物理摆）复摆的角谐振动方程COmglOC022JmgldtdmglJT2Jmgl2sin当时竖直悬挂的弹簧振子以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点以平衡位置为坐标原点)()(21)020pxxmgxxkE)()(210020xxkxxxk2022121kxkx222PK0111()222EEEkxmvkx恒量2022121kxkAkmOxkx0EP=0mg-kx0=0xk恰当选择零势点，可去掉第二项。如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点2020p21)(21kxmgxxxkE2002021)(21kxxkxxxk221kx22kp2112212EEEmvkxkAkmOxkx0EP=0mg-kx0=0xk注意：只要以平衡位置为坐标原点和零势点221kxEp准弹性势能:（包括重力势能、弹性势能）221kAE振动系统总能量5-2阻尼振动定义：振动系统因受阻力作用作振幅不断减小的振动dtdxbbvfr弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：xbkxxm令：mk20mb2022022xdtdxdtxd称0为振动系统的固有角频率，称为阻尼系数物体在流体中受到摩擦阻尼时220)cos()(0tAetxt这种情况称为弱阻尼阻力使周期增大A和初相位由初始条件决定0t弱阻尼)(tx000,)0(,0Vdtdxxxtt即有：00000cossincosAAVAx,)(220020xVxA0000xxVtg（1）阻尼较小时，此方程的解：tteCeCtx)(2)(1202202)(t过阻尼)(tx无振动发生。21CC，其中是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为过阻尼。（2）阻尼较大时，此方程的解：t临界阻尼)(tx21,CC是由初始条件决定的积分常数。tetCCtx)()(21（3）如果2=02方程的解：220是从有周期性因子到无周期性的临界点。5-3受迫振动与共振一.受迫振动1.系统受力弹性力-kx2.振动方程周期性策动力f=F0costftddxbkxtdxdm22tmFxtddxtdxdcos202022是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。阻尼力dtdxbmk0mb2其中3.稳态解x=Acos(t+)4.特点稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化(1)频率:等于策动力的频率(2)振幅:2/12222200]4)[(/mFA其解为：)cos()cos(')(220tAteAtxt(3)初相:2202tg二.共振在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。(1)共振频率:2202r(2)共振振幅:22002/mFAr若0则r0ArF/(2m0)称尖锐共振1.位移共振2/12222200]4)[(/mFA2.速度共振一定条件下,速度幅A极大的现象。r=0mr=F/2mvr=0速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。5-4简谐振动的合成一、同方向同频率的简谐振动的合成)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtx2AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA合振动：)cos(tAx合振动是简谐振动,其频率仍为5-4简谐振动的合成一、同方向同频率的简谐振动的合成2AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA)cos(tAx式中：)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg讨论：)cos(212212221AAAAA,2,1,02)1(12kk21AAA合振幅最大，两分振动相互加强。,2,1,0)12()2(12kk||21AAA合振幅最小，两分振动相互减弱。（3）一般情况k12||||2121AAAAA解：作平行四边形如图6o1A2AA已知:21AAAcm81Acm10A61相差与AA求：的相差，及212AAAcm04.56cos212212AAAAAcos2222221AAAAAoAAAAA47.522arccos222221o47.826【例题1】3-5解：218oJmR（）2287.5coJJmhmR3(2)84mRmRRhm2m2m3mmCO3-25（3）轴对杆的作用力2cos2cNmrccar2sin2cmgNmamgCmgON3224clmmllrm3.395.29Nmg02222011112223JmvlmvlJmvmvJMl角动量守恒机械能守恒21(1cos)22lJMg3-39（1）上摆过程中机械能守恒2:（）研究对象为棒冲量矩3g(1cos)l01(1)3g(1cos)23Mlmv03g(1cos)3MlMdtJl3-41解：人与木筏为一系统，系统的角动量守恒。02clmvJ6mvMl()0amvlxJ0cmvMV221()