广东省惠州市2015届高三第一次调研考试理科数学试题【2015惠州一调】

惠州市2015届高三第一次调研考试（理科数学）第1页共15页惠州市2015届高三第一次调研考试数学(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数iiz1（其中i为虚数单位）的虚部是（）.A21.Bi21.C21.Di212．已知集合},1{RxxyyA，}2{xxB，则下列结论正确的是（）.AA3.BB3.CABB.DABB3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为9009001200、、人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为().A15.B20.C25.D304．已知等差数列}{na的前n项和为nS，若5418aa，则8S().A18.B36.C54.D725．在二项式52)1(xx的展开式中，含4x的项的系数是（）.A10.B10.C5.D206．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（）.A30.B12.C24.D47．已知yx,都是区间]2,0[内任取的一个实数，则使得xysin的取值的概率是（）.A24.B2.C21.D2243233正视图侧视图俯视图惠州市2015届高三第一次调研考试（理科数学）第2页共15页8．已知向量a与b的夹角为，定义ba为a与b的“向量积”，且ba是一个向量，它的长度sinbaba，若(2,0)ur，(1,3)uvrr，则)(vuu（）.A34.B3.C6.D32二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．函数3log(32)yx的定义域是.10．以抛物线xy42的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是.11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.12．设变量yx,满足110yyxx，则yx的最大值是.13．函数)(xf的定义域为R，2)1(f，对任意Rx，2)('xf，则42)(xxf的解集为.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，BA，分别是直线05sincos和圆sin2上的动点，则BA，两点之间距离的最小值是.15．(几何证明选讲选做题)如图所示，OAB是等腰三角形，P是底边AB延长线上一点，且3PO，4PBPA，则腰长OA=.三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知02cos22sinxx.(1)求xtan的值；(2)求xxxsin)4cos(22cos的值．APOB惠州市2015届高三第一次调研考试（理科数学）第3页共15页17．（本小题满分12分）去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为5,15，15,25，25,35，35,45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1)求a的值；(2)根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第i组的频率为ip，第i组区间的中点值为ix1,2,3,,in，则样本数据的平均值为112233nnXxpxpxpxp.）(3)如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.18.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC侧面11AABB，且12AAAB(1)求证：ABBC；(2)若直线AC与平面1ABC所成的角为6，求锐二面角1AACB的大小。BA1CAB1C1空气质量指数频率组距0.0320.0200.018O515253545a惠州市2015届高三第一次调研考试（理科数学）第4页共15页19．（本小题满分14分）已知数列na中，13a，前n项和1(1)(1)12nnSna．(1)求数列na的通项公式；(2)设数列11nnaa的前n项和为nT，是否存在实数M，使得nTM对一切正整数n都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P的距离为10．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线:lykxm与椭圆C相交于AB、两点(AB、不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（本小题满分14分）已知关于x的函数321()3fxxbxcxbc，其导函数为()fx．记函数()()gxfx在区间11,上的最大值为M．(1)如果函数()fx在1x处有极值43，试确定bc、的值；(2)若1b，证明对任意的c，都有2M；(3)若Mk对任意的bc、恒成立，试求k的最大值．F2OxyPABF1A2l惠州市2015届高三第一次调研考试（理科数学）第5页共15页惠州市2015届高三第一次调研考试数学(理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案CCBDACAD1.【解析】化简得iz2121，则虚部为21，故选C2.【解析】已知集合),,3(A),,2[BBBA,故选C3.【解析】三个年级的学生人数比例为4:3:3，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为20433450人，故选B4.【解析】由题意1854aa，等差数列中8154aaaa，所以722)(8548aaS，故选D5.【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为rrrxC3105)1(，则4310r得2r，所以含4x项的系数为10)1(225C，故选A6.【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图111345(34)324232V，故选C7.【解析】此题为几何概型，事件A的度量为函数sinyx的图像在[0,]2内与x轴围成的图形的面积，即20sin1Sxdx，则事件A的概率为21422sPs，故选A8.【解析】由题意()(1,3)vuuv，则(3,3)uv，3cos,2uuv，得1sin,2uuv，由定义知1()sin,223232uuvuuvuuv，3243第6题图惠州市2015届高三第一次调研考试（理科数学）第6页共15页故选D二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．),32(10．2213yx11．1212．313．(1,)14．22115．59.【解析】由023x得32x，则定义域为：),32(10．【解析】抛物线焦点(1,0)，则双曲线中：1a，且2cea，得2c，又222cab得33b，则双曲线的标准方程为：2213yx11．【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是2时，前三位将1，3，4三个数字任意排列，则有336A种排法，末位为4时一样有336A种，两类共有：33212A种，故共有没有重复数字的偶数12个。12．【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数zxy在点(2,1)B取得最大值，代入得3xy，故xy的最大值为3。13．【解析】设函数()()24gxfxx，则()()20gxfx，得函数()gx在R上为增函数，且(1)(1)2(1)40gf，所以当()24fxx时，有()0gx，得1x，故不等式()24fxx的解集为(1,)14．【解析】由题意，直线:50lxy，圆的标准方程22(1)1xy，则圆心(0,1)到直线l的距离为22，且圆半径1r，故min221ABdr15．【解析】以O为圆心，以OA为半径作圆，则圆O经过点B，即OAOBr，设PO与圆O交于点C且延长PO交圆O与点D，由切割线定理知PAPBPDPC，即(3)(3)4rr，OCBA11-1xyy=-x惠州市2015届高三第一次调研考试（理科数学）第7页共15页得5r，所以5OAr三、解答题：16．（本小题满分12分）解：（1）∵sin2cos022xx，则cos02x-------------------------1分∴tan22x---------------------------2分∴22tan2tan1tan2xxx----------------------------4分2224123----------------------------5分（2）原式22cossin222cossinsin22xxxxx---------------------------7分(cossin)(cossin)(cossin)sinxxxxxxx----------------------------9分cossinsinxxx------------------------------10分1tantanxx------------------------------11分14------------------------------12分17．（本小题满分12分）(1)解：由题意，得0.020.0320.018101a，……………1分解得0.03a.……………2分（2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6.…………4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在5,15内为“特优等级”，ABPOCD惠州市2015届高三第一次调研考试（理科数学）第8页共15页且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则13,5B.……………5分的取值为0,1,2,3，……………6分30346405125PC，2131448155125PC，2231412255125PC，3331135125PC.……………10分∴的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E.……………12分（或者13355E）18．（本小题满分14分）解：（1）证明：如右图，取1AB的中点D，连接AD，……………1分因1A