高中数学必修2直线与圆的位置关系1

高中数学必修2直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）（2）圆的标准方程：)0()()(222rrbyax；圆心),(ba，半径为r；圆的一般方程：)04(02222FEDFEyDxyx；圆心)2,2(ED，半径为FED42122；【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设),(00yxP与圆222)()(rbyax；若P到圆心之距为d；①P在在圆C外22020)()(rbyaxrd；②P在在圆C内22020)()(rbyaxrd；③P在在圆C上22020)()(rbyaxrd；【三】、直线与圆的位置关系：设直线0:CByAxl和圆222)()(:rbyaxC，圆心C到直线l之距为d，由直线l和圆C联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为，则它们的位置关系如下：相离0rd；相切0rd；相交0rd；注意：这里用d与r的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。（2）几何法：设圆1O的半径为1r，圆2O的半径为2r①两圆外离2121||rrOO；②两圆外切2121||rrOO；③两圆相交212112||||rrOOrr；④两圆内切||||1221rrOO；⑤两圆内含||||1221rrOO；（五）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，直线L：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△0相交；(2)△=0相切；(3)△0相离。判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)dr相交；(2)d=r相切；(3)dr相离。例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点，∵点P在圆O内，∴直线L与圆O相交。法二：圆心O到直线L的距离为当d3时，(2m-1)29(2m2+2)，∴14m2+4m+170∴m∈R所以直线L与直线O相交。法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)当m≠1时，△0，直线与圆相交；当m=1时，直线L：，此时直线L与圆O相交综上得直线L与圆O恒相交。[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值1．切线问题：例3：(1)已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2)法一：∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴当x0≠0且y0≠0时，∴切线方程为当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：(1)；（2）B(4，5)解：(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，法一：设切线方程为，则圆心到切线的距离为，∴所求切线方程为法二：∵AC⊥l，∴所求切线方程为(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为又直线x=4也是圆的切线方程，∴所求切线方程为(2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。注：(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。例6、从直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的最小值。解：∵∴当|OP|最小时，SPAOB最小，又∵当OP⊥L时|OP|最小，此时例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x2+y2=r2的切线，切点为A、B，求直线AB的方程。解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则过A点的切线为x1x+y1y=r2，又∵过点P(a，b)∴ax1+by1=r2，同理有ax2+by2=r2由以上两式可以看出A、B的坐标都满足方程ax+by=r2，它是一条直线的方程，又∵过两点的直线有且仅有一条，∴直线AB的方程为ax+by=r2。2、弦长问题例8、(1)若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，求直线AB的方程。(2)若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。解：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，且A（x1，y1），B（x2，y2）由，消去y得5x2+4bx+b2-4=0由韦达定理得，①②由①②消去b得，又因M在圆内，∴所求轨迹为直线在圆内的部分。(3)经过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，直线l的方程为y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0①又∵x≠0代入①得x2+y2+x-2y=0∵M点在圆内，∴所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。法二：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，圆心C（-1，2）∵CM⊥OM∴当x≠0且x≠-1时，有①，当x=0时，点M不存在；当x=-1时，点M与C重合，符合方程①∵M点在圆内，∴所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。精选习题：1奎屯王新敞新疆在直角坐标系中，直线033yx的倾斜角是（）A．6B．3C．65D．322奎屯王新敞新疆直线0cbyax同时要经过第一奎屯王新敞新疆第二奎屯王新敞新疆第四象限，则cba、、应满足（）A．0,0bcabB．0,0bcabC．0,0bcabD．0,0bcab3奎屯王新敞新疆直线0943yx与圆422yx的位置关系是（）A．相交且过圆心B．相切C．相离D．相交但不过圆心4过两点)9,3()1,1(和的直线在x轴上的截距是()A．23B．32C．52D．25.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a，b)的位置是____A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上皆有可能6．已知点(1,2),(3,1)AB，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．524yxB．524yxC．52yxD．52yx7．若1(2,3),(3,2),(,)2ABCm三点共线则m的值为（）Ａ．21Ｂ．21Ｃ．2Ｄ．28．直线xayb221在y轴上的截距是（）A．bB．2bC．b2D．b9．直线13kxyk，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．(0,0)B．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)10．直线cossin0xya与sincos0xyb的位置关系是（）A．平行B．垂直C．斜交D．与,,ab的值有关11．直线330xy与610xmy平行，则它们之间的距离为（）A．4B．21313C．51326D．7102012、若直线1x的倾斜角为，则（）A、0B、45C、90D、不存在13．经过圆2220xxy的圆心C，且与直线0xy垂直的直线方程是（）A．10xyB．10xyC．10xyD．10xy14（安徽文）直线1xy与圆2220(0)xyaya没有公共点，则a的取值范围是（）A．(0,21)B．(21,21)C．(21,21)D．(0,21)15、经过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（）A、1条B、2条C、3条D、4条16、方程2240xy表示的图形是（）A、两条相交而不垂直的直线B、一个点C、两条垂直直线D、两条平行直线17、下列说法正确的是A、若直线1l与2l的斜率相等，则1l∥2l；B、若直线1l∥2l，则1l与2l的斜率相等；C、若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交；D、若直线1l与2l的斜率都不存在，则1l∥2l18奎屯王新敞新疆动点在圆122yx上移动时，它与定点)0,3(B连线的中点的轨迹方程是()A．4)3(22yxB．1)3(22yxC．14)32(22yxD．21)23(22yx19.直线l过点A(0，2)且与半圆C：(x-1)2+y2=1(y≥0)有两个不同的交点，则直线l的斜率的范围是____20已知点(,)Mab在直线1543yx上，则22ba的最小值为21、m为任意实数时，直线（m－1）x＋(2m－1)y＝m－5必过定点。22.若圆x2+y2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+k=0距离的最大值是4，求k23.一个圆经过点P(2，-1)和直线x-y=1相切，且圆心在y=-2x上，求它的方程。24.已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q(4，0)，求线段PQ中点的轨迹方程。25．已知过点)3,3(M的直线l被圆021422yyx所截得的弦长为54，求直线l的方程．