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第一章集合与简易逻辑目录2014高考导航考纲解读1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.2.掌握一元二次不等式、简单绝对值不等式的解法．3.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．理解四种命题及其相互关系．掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.§1.1集合的概念与运算本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基1．集合的基本概念及表示方法(1)概念：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称____，通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示．集合中的每个对象叫做这个集合的_____，通常用小写的拉丁字母a、b、c…表示．对于一个给定的集合，它的元素具有_________、互异性、________．(2)集合的表示方法①_________；②_______；③图示法(如Venn图；数轴等)．基础梳理集元素确定性无序性列举法描述法目录2．元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合的关系包括______和_______，反映个体与整体之间的关系．(2)集合间的基本关系①相等：集合A与集合B中的所有元素都相同；符号语言为：_____________⇔A＝B.②子集：A中任意一个元素均为B中的元素；符号语言为：______或_______.③真子集：A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素；符号语言为：______或______.④空集：空集是任何集合的子集，是任何___________的真子集；符号语言为：∅⊆A，∅B(B≠∅)．属于不属于A⊆B且B⊆AA⊆BB⊇AABBA非空集合目录3．集合的运算交集并集补集定义一般地，由所有属于__________的元素所组成的集合，叫做A与B的交集.一般地，由所有属于_________的元素所组成的集合，叫做A与B的并集.一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集(即A⊆U)，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集(或余集)．符号表示A∩B＝______________A∪B＝____________________∁UA＝______________A且属于BA或属于B{x|x∈A且x∈B}{x|x∈A或x∈B}{x|x∈U且x∉A}目录交集并集补集维恩图表示性质A∩A＝____；A∩∅＝____；A∩B⊆A；A∩B____B；A∩B＝⇔A⊆BA∪A＝____；A∪∅＝___；A⊆A∪B；B_____A∪B；A∪B＝A⇔B⊆AA∩(∁UA)＝__;A∪(∁UA)＝__;∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)A∅⊆AA⊆∅U目录思考探究1．∅与{∅}，∅与{0}有什么关系？提示：∅表示不含任何元素的集合．{∅}表示含有一个元素∅的集合．{0}表示含有一个元素0的集合，其关系为∅∈{∅}或∅{∅}，∅{0}．2．A∪B中元素的个数是A、B中元素个数之和吗？提示：不一定．如果用符号n(A∪B)表示元素个数，则有n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)．目录课前热身1．(教材改编)设U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是直角三角形}，则∁UA为()A．{x|x是锐角三角形}B．{x|x是钝角三角形}C．{x|x是斜三角形}D．∅答案：C2．设集合A＝{x|x－1}，B＝{x|－2x2},则A∪B等于()A．{x|x－2}B．{x|x－1}C．{x|－2x－1}D．{x|－1x2}答案：A目录答案：A3．设集合A＝{}x|1≤x≤10，x∈N，B＝{}x|x2＋2x－8＝0，x∈R，全集U＝R.则右图中阴影表示的集合为()A．{－4}B．{2，－4}C．{2}D．{1,2}目录4．(2012·高考上海卷)若集合A＝{x|2x＋1＞0}，B＝{x||x－1|＜2}，则A∩B＝__________.解析：∵A＝xx＞－12，B＝{x|－1＜x＜3}，∴A∩B＝x－12＜x＜3.答案：－12，3目录答案：{a|－1≤a≤1}5．(原创题)设M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|y＝1－x2}，若M⊆N，则a的取值范围为__________．目录考点探究讲练互动考点突破考点1集合的基本概念本考点是指有关集合的“语言”．主要包括集合的描述性的定义、集合的表示方法及应用、元素与集合的关系、常用的集合符号等．其中，理解集合的意义是关键．目录设集合A＝{(x，y)|x＋y＝c，c∈R}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝r2，r∈R，r0}，则A∩B的子集个数为()A．0B．1C．2D．1或2或4【思路分析】A表示直线上的点集，B表示圆上的点集，A∩B表示直线与圆相交的点集，即关键求出直线与圆的交点个数，再求子集个数．例1目录【解析】这时A、B都表示点集，A∩B是直线x＋y＝c和圆x2＋y2＝r2的公共点组成的集合，即直线与圆的交点，由于c、r不确定，所以交点个数有0、1、2三种情况．故A∩B的子集个数是1或2或4.【答案】D【领悟归纳】本题的集合A、B用了描述法表示．理解其意义才能转化集合语言为数学问题．此题易错误理解为：只求A∩B的元素个数．目录跟踪训练1．(2011·高考广东卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为()A．4B．3C．2D．1解析：选C.集合A表示圆x2＋y2＝1上的点构成的集合，集合B表示直线x＋y＝1上的点构成的集合，可判断直线与圆相交，故A∩B的元素的个数为2.目录考点2集合间的关系集合间的关系是指集合相等与包含，其中子集、真子集是重要的概念．往往通过集合的运算来体现它们之间的关系．处理此类问题一般有两种方法，一是化简集合，从表达式中找两集合的关系；二是利用列举法表示各个集合，从元素中寻找关系．目录已知集合A＝{x|0ax＋1≤5}，集合B＝{x|－12x≤2}．(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．例2【思路分析】在确定集合A时，需对x的系数a进行讨论．利用数轴分析，使问题得到解决．目录【解】A中不等式的解集应分三种情况讨论：①若a＝0，则A＝R；②若a0，则A＝{x|4a≤x－1a}；③若a0，则A＝{x|－1ax≤4a}．(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．当a0时，若A⊆B，如图，目录则4a－12－1a≤2，∴a－8a≤－12，∴a－8.当a0时，若A⊆B，如图，目录则－1a≥－124a≤2，∴a≥2a≥2，∴a≥2.综上知，当A⊆B时，a－8或a≥2.(2)当a＝0时，显然B⊆A；当a0时，若B⊆A，如图，目录则4a≤－12－1a2，∴a≥－8a－12.∴－12a0；当a0时，若B⊆A，如图，目录【领悟归纳】解决数集关系避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．本题易忽略对“a＝0”的讨论．则－1a≤－124a≥2，∴a≤2a≤2.∴0a≤2.综上知，当B⊆A时，－12a≤2.目录跟踪训练2．(2012·高考大纲全国卷)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()A．0或3B．0或3C．1或3D．1或3解析：选B.法一：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝m.由m＝m得m＝0或m＝1.但m＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.目录法二：∵B＝{1，m}，∴m≠1，∴可排除选项C、D.又当m＝3时，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，∴A∪B＝{1,3，3}＝A，故m＝3适合题意，故选B.目录考点3集合的运算集合的运算指的是交、并、补．进行集合的运算，首先往往是等价转换集合的表示方法或化简集合，然后利用集合的运算概念，数形结合思想求解．目录(2013·济南市高三模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x7}，B＝{x|x2－7x＋100}，则∁U(A∩B)＝()A．(－∞，3)∪(5，＋∞)B．(－∞，3)∪[5，＋∞)C．(－∞，3]∪[5，＋∞)D．(－∞，3]∪(5，＋∞)【思路分析】化简B→求A∩B→∁U(A∩B)．【解析】由已知可得B＝{x|2x5}，A∩B＝{x|3≤x7}∩{x|2x5}＝{x|3≤x5},故∁R(A∩B)＝{x|x3或x≥5},故选B.【答案】B【领悟归纳】本题也可以借助∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)的规律求解，注意端点极易漏掉．例3目录跟踪训练3．如果A、B不变，则∁U(A∪B)＝__________.解析：A∪B＝{x|2x7}，∴∁U(A∪B)＝{x|x≤2或x≥7}．答案：{x|x≤2或x≥7}目录集合运算的“三化”原则(1)意义明确化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形集；是表示函数的定义域、值域还是方程或不等式的解集．(2)化简具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简的形式．(3)运算直观化：借助数轴，直角坐标平面、维恩图等将有关集合直观地表示出来．方法感悟方法技巧目录失误防范1．集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验．2．勿忘空集，空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏掉．3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．4．维恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.目录考向瞭望把脉高考命题预测集合是每年高考必考的知识点之一，考查重点是集合与集合之间的关系，集合语言与集合思想的应用，近几年试题加强了对集合的计算、化简的考查，与解绝对值不等式、一元二次不等式及分式不等式相关．在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，借助数轴与维恩图，利用特殊值法解集合问题．试题以选择题、填空题为主，要求对基础知识、基本题型求解准确、熟练掌握．目录近几年有的高考题加大了对集合的考查，如福建省考题每年都有关于集合的新题，2011年的高考题以“新定义”的形式把集合的性质与整数的性质结合起来考查，2012年上海市高考题则以集合、数列、数学归纳法结合作为压轴题进行结合考查,此类题目一般难度较大．预测2014年对集合的考查，绝大多数是单独考查且较简单，少数在解答题中结合考查．目录(2011·高考福建卷)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4典例透析例目录【解析】由于[k]＝{5n＋k|n∈Z}，对于①，2011÷5等于402余1，∴2011∈[1]．对于②，－3＝－5＋2，被5除应余2，∴②错．对于③，任意一整数x，被5除余数为0,1,2,3,4，∴x∈[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，∴③正确．对于④，先证充分性，∵a，b是同一类，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5(n1－n2)能被5整被余0.下面证明必要性，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z.不妨令b＝5m＋k，m∈Z，则a＝5n＋5m＋k＝5(n＋m)＋k，n∈Z，m∈Z.∴a，b属于同一类，故④正确，则正确的有①③④.【答案】C目录