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第十三章导数目录2014高考导航考纲解读1.了解导数概念的某些背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义．理解导函数的概念．2.掌握函数y＝c(c为常数)和y＝xm(m∈N*)的导数公式，并会求多项式函数的导数.3.理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．4.会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.§13.1导数的概念及基本运算本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．函数的概念及意义(1)导数的定义：函数y＝f(x)的导数f′(x)，就是Δx→0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比ΔyΔx无限趋近的值．(2)导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的_______．(3)导数的物理意义：函数s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，就是物体的运动方程为s＝s(t)在时刻t0时的______速度v.即v＝s′(t0)．斜率瞬时目录2．导函数如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导．对于开区间(a，b)内每一个确定的x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的________，记作f′(x)或y′.3．求导数的方法(1)常用的导数公式：C′＝____(C为常数)，(xm)′＝__________(m∈____)．(2)导数的运算法则：(u±v)′＝___________，(C·u)′＝_________(C为常数)．导函数0m·xm－1u′±v′C·u′N*目录思考探究1．函数f(x)＝x2的导数与f(x)＝x2,在x＝0处的导数f′(0)一样吗?提示：不一样．f′(x)＝2x，而f′(0)＝0.2．y＝x3在原点处存在切线吗？提示：存在．y＝x3在x＝0处的导数为0，即在原点处的切线的斜率为0.故切线为x轴．目录课前热身1．(教材改编)函数y＝x2的图象在点(1,1)处的切线斜率为()A．2B．－2C．1D．－1答案：A目录2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)是()A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝4x3－5D．f(x)＝x4＋2答案：B目录3．质点运动方程为s＝－12t2＋1，则质点在t＝2时的速度为()A．0B．1C．－2D．2答案：C目录4．(2012·高考广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．答案：y＝2x＋15．若函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)，则f′(2)＝________.答案：15目录考点探究讲练互动考点突破考点1求函数的导数函数的导数与函数在某点的导数其意义是不同的，前者是指导函数，后者是指导函数在某点的具体函数值．目录例1求下列函数的导数(1)y＝(2x3－1)(3x2＋x)；(2)y＝3(2x＋1)2－4x；(3)y＝1x.【思路分析】解析式无法直接用公式求导时，应先展开为多项式再求导．目录【解】(1)y＝6x5＋2x4－3x2－x，∴y′＝(6x5)′＋(2x4)′－(3x2)′－x′＝30x4＋8x3－6x－1.(2)y＝3·(4x2＋4x＋1)－4x＝12x2＋8x＋3，∴y′＝(12x2)′＋(8x)′＋3′＝24x＋8.(3)y＝1x，∴y＝x－1.∴y′＝－1·x－2＝－1x2.【思维总结】对于给定的函数解析式求导，要充分使用多项式的求导法则，即(am)′＝mam－1(m∈Q)．目录跟踪训练1．在本例(1)中求y′|x＝0.解：∵y′＝30x4＋8x3－6x－1，∴y′|x＝0＝－1.目录考点2导数的几何意义及应用函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．目录已知曲线y＝13x3＋43，求曲线过点P(2,4)的切线方程．【思路分析】点P不一定是切点，需要设出切点坐标．例2目录【解】设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，13x30＋43)，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20，∴切线方程为：y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0.∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.目录【思维总结】对于未给出切点的题目，要求切线方程，先设出切点坐标,建立切线方程,再利用过已知点求切点坐标．目录跟踪训练2．对于本题函数y＝13x3＋43，求曲线在点P(2,4)的切线方程．解：∵y′＝x2，∴在P(2,4)的切线的斜率为k＝y′|x＝2＝4，∴曲线在P(2,4)的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.目录方法技巧1．求几个多项式乘积的导数时，必须先将多项式乘积展开，化为a0xn＋a1xn－1＋a2xn－2＋…＋an－1x＋an的形式，再应用求导法则进行求导．2．曲线的切线方程的求法(1)已知切点(x0，f(x0))①求出函数f(x)的导数f′(x)；②将x0代入f′(x)求出f′(x0)，即得切线的斜率；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．方法感悟目录(2)未知切点求切线方程①设出切点坐标(x0，f(x0))；②表示出切线斜率；③表示出切线方程；④代入已知点坐标，求出x0，近而求出切线方程．目录失误防范1．求过点(x0，y0)的曲线的切线方程时，要注意判断已知点(x0，y0)是否满足曲线方程，即是否在曲线上．过点P(x0，y0)作切线，点P暂不当作切点．在点P作切线，P为切点．2．与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．目录考向瞭望把脉高考命题预测从近两年的高考试题来看，高考对导数及其运算的考查主要集中在导数的几何意义以及求多项式类型的函数导数上，题型在选择、填空、解答中都有体现，难度属中、低档．在2012年的高考中，广东卷以选择题的形式考查了三次函数的切线问题，北京卷、福建卷则以解答题的形式考查了与切线有关的证明、解答问题．预测2014年高考对导数的几何意义的考查仍将继续，各种题型都有可能出现，其中选择、填空题的可能性更大，一般还会有一道以求多项式类型函数为载体的导数综合题．目录规范解答(本题满分13分)(2012·高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．例目录【解】(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.(1分)因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，(3分)即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(6分)(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.(8分)令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：目录(10分)由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3＜k＜2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．(13分)x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1,2)2h′(x)＋0－0＋h(x)↗28↘－4↗3目录【名师点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求函数最值的方法等基础知识，考查运算能力以及分类讨论的思想方法，难度适中．目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放