构造函数解导数

第1页共5页合理构造函数解导数问题构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键。例1：已知函数axxxaxxf231ln.(1)若32为xfy的极值点，求实数a的值；(2)若xfy在,1上增函数，求实数a的取值范围；(3)若1a时，方程xbxxf311有实根，求实数b的取值范围。变量分离直接构造函数抓住问题的实质，化简函数1、已知xf是二次函数，不等式0xf的解集是5,0，且xf在区间4,1上的最大值12.（1）求xf的解析式；（2）是否存在自然数m，使得方程037xxf在区间1,mm内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由。变式练习：设函数Rxxxxf,563，求已知当,1x时，1xkxf恒成立，求实数k的取值范围。抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题例：已知函数xnxfln的图像在点),(mfmP处的切线方程为,xy设.ln2xxnmxxg（1）求证：当1x时，0xg恒成立；（2）试讨论关于x的方程txexxxgxnmx232根的个数。第2页共5页一次函数，二次函数，指对数函数，幂函数，简单的分式根式函数，绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化。复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复合过程能够逐层分解。例：已知函数223241234xaxxxxf在区间1,1上单调递减，在区间2,1上单调递增。（1）求实数a的值.（2）若关于x的方程mfx2有3个不同的实数解，求实数m的取值范围.（3）若函数pxfy2log的图像与坐标轴无交点，求实数p的取值范围。复合函数尤其是两次复合，一定要好好掌握，构造两种函数逐层分解研究，化繁为简，导数仍然是主要工具。导数—构造函数一：常规的构造函数例一.若33sincoscossin,02，则角的取值范围是()(A)[0,]4(B)[,]4(C)5[,]44(D)3[,)42变式、已知3355xyxy成立，则下列正确的是（）A.0xyB.0xyC.0xyD.0xy变式.()fx为()fx的导函数，若对xR，22()()fxxfxx恒成立，则下列命题可能错误的是()A．(0)0fB．(1)4(2)ffC．(1)4(2)ffD．4(2)(1)ff二：构造一次函数例二、对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1a+2x恒成立的x的取值范围.第3页共5页三：变形构造函数例三．已知函数21()(1)ln2fxxaxax，1a．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）证明：若5a，则对任意12,(0,)xx，12xx，有1212()()1fxfxxx．例四、已知函数2()(1)ln1fxaxax.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）设2a，证明：对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx.四：消参构造函数例五、设函数21fxxalnx有两个极值点12xx，，且12xx．（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：21224lnfx．五：消元构造函数例六、已知函数xxfln，xexg．（Ⅰ）若函数11xxxfx，求函数x的单调区间；（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点00,xfxA处的切线．证明：在区间,1上存在唯一的0x，使得直线l与曲线xgy相切．第4页共5页六：二元合一构造函数例七、已知函数21()ln(0)2fxxaxbxa且导数'(1)0f（1）试用含有a的式子表示b，并求()fx的单调区间；（2）对于函数图象上的不同两点1122(,),(,)AxyBxy如果在函数图象上存在点00(,)Mxy（其中012(,)xxx）使得点M处的切线//lAB，则称AB存在“跟随切线”。特别地，当1202xxx时，又称AB存在“中值跟随切线”。试问：在函数()fx上是否存在两点AB、使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出AB、的坐标，若不存在，说明理由。七：构造函数解不等式例八、设函数f(x)＝mxmmxx12223(其中m-2)的图像在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行；（Ⅰ）求m的值与该切线方程；（Ⅱ）若对任意的Mxfxfxx2121,1,0,恒成立，则求M的最小值；（Ⅲ）若a0,b0,c0且a+b+c=1，试证明：109111222ccbbaa例九、设函数()ln1fxxpx（Ⅰ）求函数()ln1fxxpx的极值点（Ⅱ）当0p时，若对任意的0x，恒有()0fx，求p的取值范围。（Ⅲ）证明：222222222ln2ln3ln4ln21(,2)2342(1)nnnnNnnn例十、证明：对任意的正整数n，不等式3211)11ln(nnn都成立.第5页共5页1、移项法构造函数【例1】已知函数xxxf)1ln()(，求证：当1x时，恒有xxx)1ln(1112、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln21)(2xxxf求证：在区间),1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方；3、换元法构造函数证明【例3】证明：对任意的正整数n，不等式3211)11ln(nnn都成立.4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y=)(xf在R上可导且满足不等式x)(xf－)(xf恒成立，且常数a，b满足ab，求证：．a)(afb)(bf