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第十章统计与概率走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学第十章第六节排列与组合(理)第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学排列、组合问题的类型及解答策略排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活．实践证明，备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问题的解答策略．(1)相邻元素捆绑法．在解决某几个元素必须相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例1](2012·山西四校联考)有七名同学站成一排照相，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有________种．分析：甲站正中间，左边、右边各3人，乙、丙相邻排列后作为一个“整体元素”，按这个整体元素的站位考虑有4种情况，其他位置可任意排列．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：依题意得，满足题意的不同站法共有4·A22·A44＝192种．答案：192第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(2)相离问题插空法．相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例2](2011·湘潭期末)2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答)第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：将两件书法作品排在一块看作“一件”作品与标志性建筑设计一块排好，有A22·A22种排法，在上述“两件”作品形成的三个空档中插入绘画作品，有A23种插法．∴共有不同展出方案A22A22·A23＝24种．答案：24第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(3)定序问题属组合．排列时，如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题．[例3]6个人排一队参观某项目，其中甲、乙、丙三人进入展厅的次序必须是先乙，再甲，最后丙，则不同的列队方式有________种．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：解法1：由于甲、乙、丙三人的次序已定，故只需从6个位置中选取3个排上其余3人，有A36种排法，剩下的三个位置排甲、乙、丙三人，只有一种排法，∴共有A36＝120种．解法2：先选取3个位置排甲、乙、丙三人有C36种方法，剩下3个位置站其余3人，有A33种方法，∴共有C36·A33＝120种．答案：120第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(4)定元、定位优先排．在有限制条件的排列、组合问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例4](2012·太原部分重点中学联考)6位同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为()A．12B．9C．6D．5第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：当乙、丙中有一人在A社区时有C12C13C22＝6种安排方法；当乙、丙两人都在B社区时有C13C22＝3种安排方法，所以共有9种不同的安排方法．答案：B第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(5)至多、至少间接法．含“至多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题．可用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况．[例5](2011·丽水月考)从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A．36种B．30种C．42种D．60种第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：解法1(直接法)：选出的3名志愿者中含1名女生有C12·C26种选法，含2名女生有C22·C16种选法，∴共有C12C26＋C22C16＝36种选法．解法2(间接法)：若选出的3名全是男生，则有C36种选法，∴至少有一名女生的选法数为C38－C36＝36种．答案：A第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(6)选排问题先选后排法．对于排列组合的混合应用题，一般解法是先选(组合)后排(排列)．[例6]四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作答)．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：先从四个小球中取两个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A34种不同的放法，据分步计数原理，共有C24·A34＝144种不同的放法．答案：144第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(7)部分符合条件淘汰法．在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求．[例7]过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()A．18对B．24对C．30对D．36对第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．答案：D第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(8)数字问题要弄清可否重复及首位不能为0.[例8]用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324B．328C．360D．648第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：利用分类计数原理，共分两类：(1)0作个位，共A29＝72个偶数；(2)0不作个位，共A14·A18·A18＝256个偶数，共计72＋256＝328个偶数，故选B.答案：B第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例9]一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)＝________.建模思想：蚂蚁爬树第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方法数．m个0和n个1共占m＋n个位置，只要从中选取m个放0即可．∴f(m，n)＝Cmm＋n.答案：Cmm＋n第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学点评：(1)例如f(3,4)＝C37，其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．(2)抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合问题．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例12]如图，从上往下读(不能跳读)构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是()第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来A．250B．240C．252D．300第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：要组成题设中的句子，则每行读一字，不能跳读．每一种读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从左上角到右下角方向读的，故共有不同读法C510＝252种．答案：C第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例10]方程x＋y＋z＝8的非负整数解的个数为________．建模思想：模型化第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：把x、y、z分别看作是x个1，y个1和z个1，则共有8个1，问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题．由于x、y、z非负，故允许十号相邻，如11＋＋111111表示x＝2，y＝0，z＝6，＋11111111＋表示x＝0，y＝8，z＝0等等，∴不同排法总数为从10个位置中选取2个放十号，∴方程的非负整数解共有C210＝45个．答案：45第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例11]一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，问不同熄灯方法有多少种．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：记熄灭的灯为0，亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方法数C47＝35种．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学点评：实际解题中，先找出符合题设条件的一种情形，然后选取一种替代方案，注意是否相邻、相间等受限条件，然后确定有无顺序是排列还是组合，再去求解．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学建模思想：插板法（相同元素）例9.求方程x+y+z=12的正整数解的组数？211C第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例10]方程x＋y＋z＝8的非负整数解的个数为________．解析：把x、y、z分别看作是x个1，y个1和z个1，则共有8个1，问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题．由于x、y、z非负，故允许十号相邻，如11＋＋111111表示x＝2，y＝0，z＝6，＋11111111＋表示x＝0，y＝8，z＝0等等，∴不同排法总数为从10个位置中选取2个放十号，∴方程的非负整数解共有C210＝45个．答案：45第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例4]某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案共有()A．15种B．21种C．30种D．36种答案：B解析：由题意本题有两类抽调办法：第一类从6个工厂中选一个工厂抽调3名工程技术人员，其它5个工厂各抽1人，有C16种方法；第二类从6个工厂中选两个工厂各抽调2名，其他4个工厂各抽1人，有C26种方法，8个名额的分配方案共有C16＋C26＝21种．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学点评：可用建模法解——插板法（相同元素）．8个名额可视作8个0,6个厂每厂至少调1人可看作将这8个0分成6堆，每堆至少1个，故从7个空中选5个插入1，将它们分开，∴有分配方案C57＝21种．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学1.15个相同的苹果分给三个人，每人至少2个，有多少种分配方案？211C2.现准备将10台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所希望小学至少2台，其它小学允许1台也没有，则共有多少种不同的分配方案.410C第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学枚举法[例13]如果直线a与b异面，则称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有________对．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学考察PA与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(PA，BC)，(PA，CD)，(PA，DE)，(PA，EF)共四对．同理与共它侧棱异面的底边也各有4条，故共有4×6＝24对．答案：24第十章第六节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例4]某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案共有()A．15种B．21种C．30种D．36种分堆