高中数学向量专题-概念+例题

高中数学向量专题学习目标1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.掌握向量的加法和减法.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.2.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用，掌握平移公式.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.3.了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.向量是高中数学的新增内容，作为数形结合的有力工具，它的应用极其广泛，在复数、平几、解几、立几、物理等知识中均有涉及.本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解决问题是本章特点的一个方面，向量本身具有数与形结合的双重身份，这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造了条件.通过本章学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.知识点1.向量的定义既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示.AB表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的向量)，也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑体a、b、c，书写用a、b、c注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量).2.向量的模所谓向量AB的大小，就是向量AB的长度(或称模)，记作｜AB｜或者｜a｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用0表示.0向量的方向是不定的，或者说任何方向都是0向量的方向，因此0向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.4.平行向量、共线向量方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如AB与BA也是一对平行向量.由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与CD是一组共线向量；向量AD与BC也是一组共线向量.5.相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量a与向量b相等，记作a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.重点难点通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.例1判断下列各命题是否正确(1)若｜a｜=｜b｜，则a=b(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.(3)若a=b,b=c,则a=c(4)两向量a、b相等的充要条件是(5)｜a｜=｜b｜是向量a=b的必要不充分条件.(6)AB=CD的充要条件是A与C重合，B与D重合.解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.(2)正确.∵AB=DC,∴｜AB｜=｜DC｜且AB∥DC.又A、B、C、D是不共线的四点.∴四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形则AB∥DC，且AB与DC方向相同，因此AB=DC.(3)正确.∵a=b∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b=c∴b，c的长度相等且方向相同.∴a，c的长度相等且方向相同，故a=c(4)不正确.当a∥b,但方向相反，即使｜a｜=｜b｜，也不能得到a=b，故不是a=b的充要条件.(5)正确.这是因为|b||a|a=b,但a=b｜a｜=｜b｜,所以｜a｜=｜b｜是a=b的必要不充分条件.(6)不正确.这是因为AB=CD时，应有：｜AB｜=｜CD｜及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合.说明：①针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向a、b相等的充要条件应是a、b的方向相同且模相等.②针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.③结论(6)不正确，告诉我们平面向量a与b相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.例2如图所示，△ABC中，三边长｜AB｜、｜BC｜、｜AC｜均不相等，E、F、D是AC，AB，BC的中点.(1)写出与EF共线的向量.(2)写出与EF的模大小相等的向量.(3)写出与EF相等的向量.解：(1)∵E、F分别是AC，AB的中点∴EF∥BC从而，与EF共线的向量，包括：FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.(2)∵E、F、D分别是AC、AB、BC的中点∴EF=21BC,BD=DC=21BC.又∵AB、BC、AC均不相等从而，与EF的模大小相等的向量是：FE、BD、DB、DC、CD(3)与EF相等的向量，包括：DB、CD.例3判断下列命题真假(1)平行向量一定方向相同.(2)共线向量一定相等.(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量.(4)不相等的向量，则一定不平行.(5)非零向量的单位向量是±aa.解：(1)假命题，还可以方向相反；(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等；(3)真命题，因为向量与起点位置无关；(4)假命题，因为若a,b方向相同，但只要｜a｜≠｜b｜，则a≠b.(5)真命题，任一非零向量：a的单位向量为±aa.例4如图，已知：四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC的中点，又AB=DC.求证：CN=MA，证明：∵AB=DC∴｜AB｜=｜DC｜，且AB∥DC.从而，四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC，AD=BC∵N、M分别是AD、BC的中点.∴AN=21AD,MC=21BC.∴AN=MC.又AN∥MC，∴四边形AMCN是平行四边形.于是得：AM∥NC，｜AM｜=｜NC｜.又由图可知：CN与MA的方向一致.∴CN=MA【难题巧解点拔】例1如图，已知四边形ABCD是矩形，O是两对角线AC与BD的交点，设点集M={A,B,C,D,O}、向量的集合T={PQ｜任P，Q∈M，且P、Q不重合}，试求集合T的子集个数.分析：要确定向量为元素的集合T有多少个子集，就需搞清楚集合T中有多少个相异的向量.解：以矩形ABCD的四顶点及它的对角线交点O，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：AO=OC、OA=CO;DO=OB、BO=OD;AC、CA；BD、DB；AD=BC、DA=CB;AB=DC、BA=CD.它们中有12个向量是各不相等的.故T是一个12元集.所以T有212个子集.说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出T中的元素个数为12.而不是20.这样才能得到正确的结果.例2已知；如图，点D在△ABC的边BC上，且与B、C不重合，E、F分别在AB、AC上，DF=EA.(1)求证：△BDE∽△DCF.(2)求当D在什么位置时，四边形AEDF的面积可以取到最大值?证明：(1)∵DF=EA∴DF∥AE，｜DF｜=｜EA｜.从而，得：四边形AEDF是平行四边形∴DE∥AF，｜DE｜=｜AF｜由DE∥AF可得：∠BDE=∠C由DF∥AE可得：∠B=∠FDC∴△BDE∽△DCF(2)设｜BC｜=a,｜AC｜=b,｜AB｜=c,｜BD｜=x,则｜DC｜=a-x.∵△BDE∽△DCF.∴CDBD=DFBE=FCED从而，xBE=xaDF，设比为k1.xED=xaFC，设比为k2.由｜BE｜+｜DF｜=c,｜ED｜+｜FC｜=b.可得：xk1+(a-x)k1=c,∴k1=ac.xk2+(a-x)k2=b,∴k2=ab.∴｜DF｜=ac(a-x)｜DE｜=abx由点F作FT⊥AB，垂足为T由锐角三角函数，｜FT｜=｜AF｜sinA=abx·sinA∴S□AEDF=｜DF｜·｜FT｜=ac(a-x)·abx·sinA=2abc(ax-x2)sinA=2abc［42a-(x-2a)2］sinA≤4bcsinA当且仅当x=2a时，等号成立.答：D是BC边的中点时，S□AEDF取到最大值.例3如图A1，A2，…A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2…A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个?模等于半径2倍的向量有多少个?分析：(1)由于A1、A2…A8是⊙O上的八个等分点，所以八边形A1A2…A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与⊙O的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是iOA与OAi(i=1,2,…，8)两类.(2)⊙O内接正方形的边长是半径的2倍，所以我们应考虑与圆心O形成90°圆心角的两点为端点的向量个数.解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是iOA(i=1,2，…，8)共8个；另一类是OAi(i=1,2,…,8)也有8个，两类合计16个.(2)以A1，A2，…，A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7；另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍.所以模为半径2倍的向量共有4×2×2=16个.说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算iOA与OAi(i=1，2，…，8)两类，一般我们易想到iOA(i=1,2,…，8)这8个，而易遗漏OAi(i=1，2，…，8)这8个.(2)圆内接正方形的一边对应了长为2的两个向量.例如边A1A3对应向量31AA与42AA.因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的.【命题趋势分析】本节着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.【典型热点考题】例1给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等，所以(3)也是假命题.∴选A.例2如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.(1)与向量AB相等的向量有；(2)若｜AB｜=3，则向量EC的模等于.分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，由条件，可得ED=AB且DC=AB，所以ED=DC.于是E、D、C三点共线，故｜EC｜=｜ED｜+｜DC｜=2｜AB｜=6.答：(1)ED，DC；(2)6例3下列命题中，正确的是()A.｜a｜=｜b｜a=bB.｜a｜＞｜b｜a＞bC.a=b｜a｜∥｜b｜D.｜a｜=0a=0解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.∴应排除D，∴应选C.例4下列四个命题：①若｜a｜=0,则a=0；②若｜a｜=｜b｜,则a=b或a=-b；③若a与b是平行向量，则｜a｜=｜b｜；④若a=0，则-a=0正确命题个数是()A.1B.2C.3D.4分析：①是忽略了0与0不同，由于｜a｜=0a=0,但0不能写成0；②是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们的方向相同或相反；③是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相等；④正确，故选A.强化练习：一、选择题1.下列命题中的假命题是()A.向量AB与BA的长度相等B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A.有相同起点的向量B.单位向量C.相等的向量D.模相等的向量3.如图，△ABC中，DE∥BC，则其中共线向量有()A.