高中数学基础知识归纳

12006年广东高考数学知识点题型方法归纳顺德区勒流中学数学高级教师邓先春整理编写一、题型解题方法与策略1、选择题的解法：从解题过程来说，完成选择题的解答必须突出五个环节：“读题------记号------推理判断-------比较------选择”数学选择题的求解，一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件。选择题属容易题（个别题为中档题），解题的基本原则是：“小题不可大做”。由于选择题提供备选答案，又不要求写出解题过程，因此，出现了一些特有的解题方法，在解选择题是很适用。2、填空题的解法：它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点。3、解答题的类型及解法：（一）三角函数1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，如tg+tgtg(+)=1tgtg的变形tg+tg=tg(+)(1)tgtg,二倍角公式22cos2cossin2212sin2cos1的变形用21cos2cos2,21cos2sin2等。3、常用的三角变换①角的变换：主要是将三角函数中的角恰当变形，以利于应用公式和已知条件：如2α=(α+β)+(α-β)2β=(α+β)-(α-β)α=[(α+β)/2]+[(α-β)/2],β=[(α+β)/2]-[(α-β)/2]2α=2α/2=(α+β-β)②函数名称变换：主要是切割化弦、弦切互换、正余弦互换、正余切互换。③公式的活用主要有公式的正用、逆用、变形用。通过适当的三角变换，以减少函数种类及项数，降低次数，使一般角化为特殊角。注意切割化弦通分、降幂和升幂等方法的使用，充分利用三角函数值的变式，如，1=tan450，-1=tan1350,=tan600,=cos600或=sin300,sinx+cosx=2sin(x+),创造条件使用公式。4、三角函数的图像与性质⑴“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω＞0)的简图，掌握选取起关键作用的五个点的方法：设X=ωx+φ,由取0，π/2，π，3π/2，2π来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图。⑵掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图像与函数y=sinx的图像之间互相交换，提倡先平移后压缩(伸展)，但先压缩(伸展)后平移也经常出现现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。另注意能以向量的形式表示平移⑶给出图像确定解析式的题型，有时从寻找“五点法”中的第一个零点(-φ/ω.0)作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个零点的位置。⑷求定义域是研究其他性质首先应要考虑的方面之一，既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，例如题中出现tanx,则一定有2x≠k+(π/2)(k∈Z),不要遗忘.⑸求值域离不开三角函数式的的恒等变形，所以要掌握六种三角函数的定义域、值域、单调性，还要熟练掌握形如：sinx±cosx、sinx·cosx、sin2x+cos2x、sin3x+cos3x等之间的变换，以及三角公式的正逆用和变形用。⑹三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法求解，若对函数利用描点画图，则根据图形的直观性可迅速获解。判断函数的奇偶性，应首先判定函数定义域关于原点的对称性。三角函数最小正周期的求法，主要是通过恒等变形转化为基本三角函数类型或形如y=Asin(ωx+φ)的形式，另外还有图像和定义法。⑺函数y=Asin(ωx+φ)的图像是中心对称图形。其对称中心是图像与x轴的交点，同时也是轴对称图形，对称轴是经过图像的波峰顶或波谷底且与x轴垂直的直线。（二）立体几何解答题的解法[1]空间角的计算主要步骤；一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算。1．两条异面直线所成的角①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线。②补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系。2．直线和平面所成的角作出直线和平面所成的角，关键是垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。3．二面角⑴平面角的作法：①定义法；②三垂线定理及其定理法；③垂面法。⑵平面角计算法：①找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算。②射影面积法:cos=S射影/S[2]空间距离的计算：1．求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。2．求两条异面直线距离，一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长，在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解（这种情形高考不作要求）.3．求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知求距离比较困难难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。[3]平行、垂直位置关系的转化（三）概率解答题的解法：1．（1）等可能性事件的概念也称古典概率，它的特征为：①每一次试验中所有可能出现的结果是有限的；②每一个结果出现的可能性是相等的；⑵等可能性事件概率的计算步骤①计算一次试验的基本事件的总数n；②计算事件A包含的基本事件的个数m；③依公式P(A)=m/n求值。2．互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是研究两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要而非充分条件。从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交。事件A的对立事件A所含的组成有集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。33．互斥事件的概率：P(A+B)=P(A)+P(B)对立事件的概率：P(A+A)=P(A)+P(A)=1相互独立事件的概率：P(A·B)=P(A)·P(B)n次独立重复试验中事件A恰好发生k的概率：Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k4.在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率。5．在概率解答题中要有必要的文字解释6、数学期望与方差（四）数列解答题的解法1．数列前n项和Sn与第n项aa的关系：S1(n=1)an=Sn-Sn-1(n≥2)2．等差数列的主要性质：已知{an},{bn}为等差数列，则：①{kan},{an}+{bn},{kan+b},(k,b为常数)等仍成等差数列；②an=am+(n-m)d(m,n∈N+)；③2an=an-m+an+m;④如果m+n=p+q，则am+an=ap+aq;⑤如果Sn为{an}的前n项和，则Sn,S2n–Sn,S3n-S2n成等差数列.⑥在等差数列{an}中，若项数为2n,则S偶-S奇=nd,S奇/S偶=an/an+1;若项数为2n-1,则S奇=nan,S偶=(n-1).an,S2n-1=(2n-1)an,即an=S2n-1/2n-13.等比数列的主要性质：已知{an},{bn}为等比数列，则：①{kan},{ank},{anbn},(k≠0,k为常数)等仍成等比数列；②an=am·qn-m(m,n∈N+)；③an2=an-m·an+m;④如果m+n=p+q，则am·an=ap·aq;⑤如果Sn为{an}的前n项和，则Sn,S2n–Sn,S3n-S2n成等比数列.⑥在等比数列{an}中，n为偶数时，S偶/S奇=q,n为奇数时，(S奇-a1)/S偶=q.⑦特别注意等比数列的前n项和公式及推导方法(错位相减)的应用.na1(q=1)Sn=[a1(1-qn)]/(1-q)(q≠1)4.能用等差、等比数列的定义进行解题。掌握等差、等比数列的通项公式，求和公式的推导方法。（五）解析几何解答题的解法：[1]直线和圆1．①与直线方程特征值(主要指斜率、截距等)的有关问题；②直线的平行与垂直的条件；②与距离有关的问题；③中心对称与轴对称问题。2．直线与圆的位置关系的综合性试题，数形结合是解题的主导思想，借助“形”的直观性，可以使问题化难不易。因此，求解直线与圆的问题一定要注意挖掘几何图形的内在几何性质。[2]直线和圆锥曲线一、圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质1．椭圆⑴完整地理解椭圆的定义并重视定义在解题中的应用。椭圆是平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点的轨迹。还有一种定义(圆锥曲线的统一定义)：平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数e(0＜e＜1＝的动点轨迹为椭圆，(顺便指出：e＞1、e=1时轨迹分别为双曲线和抛物线)。⑵椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴。焦点是F(±c,0)时，标准方程为2222xyab=1(a＞b＞0)；4焦点是F(0,±c)时，标准方程2222yxab=1(a＞b＞0)。这里隐含a2=b2+c2,此关系体现在△OFB(B为短轴端点)中。⑶深刻理解a、b、c、e、a2/c的本质含义及相互关系，实际上就掌握了几何性质。2．双曲线⑴类比椭圆，双曲线也有两种定义，两种标准方程形式，同样要重视定义在解题中的运用，要深刻理解几何量a、b、c、e、a2/c的本质含义及其相互间的关系。⑵双曲线的渐近线是区别是于椭圆的一道“风景线”，其实它是矩形的两条对角线所在的直线（参照课本）。⑶双曲线2222xyab=±1（a＞0，b＞0）隐含了一个附加公式c2=a2+b2.此关系体现在△OAB（A、B分别为实轴、虚轴的一个端点）中；特别地，当a=b时的双曲线称为等轴(边)双曲线，其离心率为;两条渐进线互相垂直。3．抛物线⑴抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹(FL)定义指明了抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，并在解题中有突出的运用。⑵抛物线方程(标准)有四种形式：y=±2px和x2=±2px(p＞0)，选择时必须判定开口与对称轴。⑶掌握几何性质，注意分清2p,p,p/2的几何意义。[3]、直线与二次曲线的位置关系1．判断直线L与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线L的方程代入曲线C的方程，消去y(也可以消x)得一个关于变量x的一元方程ax2+bx+c=0.①当a≠0时，则有△＞0，L与C相交；△=0，L与C相切；△＜0，L与C相离。②当a=0时，即得到一个一次方程，则L与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则L平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则L平行于抛物线的对称轴。应当注意的是，当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交。2．关于弦长的计算有弦长公式：|AB|=221212(1)[()4]kxxxx=2121221(1)[()4]yyyyk焦点弦的长可以利用焦半径公式，可使计算简化.涉及与弦的中点有关的问题，除了利用韦达定理外，也可利用“点差法”。[4]常见的求轨迹方程的方法有以下几种：⑴直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式。⑵待定系数法：由已知条件可以根据定义判断出曲线类型，可用待定系数法设出方程具有形式，转化为求方程而解决