高中数学复习_数列求和_裂项相消法

1裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。1、特别是对于1nnaac，其中na是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用1nnaac=111nnaadc，其中nnaad12、常见拆项：111)1(1nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn!)!1(!nnnn)!1(1!1)!1(nnnn例1求数列1{}(1)nn的前n和nS．例2求数列1{}(2)nn的前n和nS．2例3求数列1{}(1)(2)nnn的前n和nS．例4求数列,11,,321,211nn的前n项和.例5：求数列311，421，531，…，)2(1nn，…的前n项和S例6、求和)12)(12()2(534312222nnnSn3一、累加法1．适用于：1()nnaafn----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2．若1()nnaafn(2)n，则21321(1)(2)()nnaafaafaafn两边分别相加得111()nnkaafn例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。例2已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则411232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan解法二：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan练习1.已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式.答案：12nn练习2.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.答案：裂项求和nan12评注：已知aa1,)(1nfaann，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na.5①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3.已知数列}{na中,0na且)(21nnnanaS,求数列}{na的通项公式.解:由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS,化简有nSSnn212,由类型(1)有nSSn32212,又11aS得11a,所以2)1(2nnSn,又0na,2)1(2nnsn,则2)1(2)1(2nnnnan此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法1.适用于：1()nnafna----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2．若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，两边分别相乘得，1111()nnkaafka例4已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故61321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan例5.设na是首项为1的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2，3，…），则它的通项公式是na=________.解：已知等式可化为：0)1()(11nnnnnaanaa0na(*Nn)(n+1)01nnnaa,即11nnaann2n时，nnaann11112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1.评注：本题是关于na和1na的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到na与1na的更为明显的关系式，从而求出na.练习.已知1,111annaann,求数列{an}的通项公式.答案：na)1()!1(1an-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11nnaann转化为),1(11nnana若令1nnab,则问题进一步转化为nnnbb1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.