数学与人的发展(二)

上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一数学与人的发展（二）重庆三峡学院查中伟上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一一门学科实现公理化的标志：一是它有一套基本术语，或原始概念；二是它有一组基本命题，或原始命题，或公理；三是其余的概念全由原始概念出发予以定义，其余的命题全由公理出发予以推理论证。起源于数学的公理化方法已经产生广泛影响，这种影响已经越出数学范围而进入其他自然科学领域，已经越出自然科学而进人人文科学领域。数学的公理思想使数学作为文化具有更实际的意义。一、公理方法的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一数学的公理思想产生广泛影响经历了一个过程，数学自身的公理化程度和水平也经历了不同的发展阶段。牛顿力学建立了公理系统，即他的三大定律，这具有实质公理化特征。对普通学生，从中学到大学本科，实质公理化方法就已足够的了，也是必要的。公理化不仅使数学本身的内在统一性、和谐性得到充分的揭示，而且有利于人们更清晰地从微观到宏观看世界；公理化也不仅是使人更易认识世界，而且为数学发现与创造提供必要的启示和工具；同时还对人自身逻辑思维的发展起极为积极的推动作用；公理方法在一定范围内也使思维经济有效。一、公理方法的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一算术公理，它由以下五条组成：1．1属于非空集(1只是一个符号)；2．的每个元素有后继数；3．1不是任何元素的后继数；4．若，则(即两元素之后继数相等时，两元素自身也相等)；5．设，若1属于，又若当属于时，亦必属于，则。NaNababaNMMaMaMNM一、公理方法的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一什么是“物质”？“物质是独立于人的意识之外的客观存在。”如果这是关于物质的定义，从逻辑上说，它使用了意识、客观、存在等概念，那么这些概念就应当是已知的。然而，什么叫“存在”呢?存在是“不依赖人的意志为转移的客观世界，即物质。”这里又用“物质”的概念定义了“存在”，而前面是用“存在”定义了“物质”的。在黑格尔那里，“存在”是基本概念，是不必再加定义的，因而也就避免了起码应避免的逻辑缺陷。一、公理方法的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一“等腰三角形两底角相等”为例看看是如何运用的。在三角形中，若，那么。下面是证明：作，交于。因为凡直角皆相等(大前提)，又和皆为直角(小前提)，所以(结论)；ABCACABACBABCBCADADBCDADBADCADCADB一、公理方法的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一因为有两边对应相等的两直角三角形必全等(大前提)，又在和中，(小前提)，所以(结论)；因为凡全等三角形的对应角相等(大前提)，又(小前提)，所以即(结论)。三段论中含3个项，大项、中项、小项，中项起中间作用，在结论中不出现。ADBADCADADADCADBADCADBACDABDACBABC一、公理方法的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一例子：“凡羊有两只角，是一只羊，有两只角”，这里，“羊”是中项，“两只角”(的动物)是大项，是小项。看一个哲学中的三段论：——世界是物质的，——意识是世界的一部分，——所以，意识是物质的。AAA一、公理方法的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一大前提应修改为“世界的本源是物质的”。下面按修改后的大前提再作一三段推论：——世界的本源是物质的．——意识是世界的一部分．——所以，意识的本源是物质的。物质与意识是有密切联系的，却不能看成是一回事，也不能把一者看成是包含另一者的。太阳与地球紧密联系着，但太阳是太阳，地球是地球。一、公理方法的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一唯物论认为物质是第一性的，意识是第二性的，这就是说，意识的本源是物质的。但决不认为意识本身就是物质的或者意识是物质的一部分。否则，并不是正确的认识了物质与意识的关系，而是混淆了两者的关系。辩证唯物主义还认为，在一定条件下，物质可以变精神，精神可以变物质。一、公理方法的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一数学的事实还证明，数学是要求严格遵守形式逻辑的，这一点不仅不妨碍辩证思维的发展，而且还为把握辩证逻辑提供了必需的基础。当我们说到公理的作用的时候，并不是说人文学科、社会学科都应当建立在公理的基础上，甚至它们能不能做到这一点我们也还不知道。但是，至少，公理的方法也是能给我们在人文科学、社会科学中进行推理的时候亦须注意或借鉴的基本事项。一、公理方法的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一1.归纳，类比不完全归纳是发现的开始，是创造的开始，是十分珍贵的思维形式之一。另一方面的事实是，儿童从小就有归纳的经历，1～2岁的小孩的语言符号就在迅速增加，第二信号系统在迅速扩张。其所以能这样，原因之一就是他们首先是接触归纳，并且能接受归纳。小孩子数(shǔ)数(shù)，开始学个位数困难一点，然后学十几、二十几，也困难一点，再往后学三十几、四十几、……的两位数就不是很困难了，到了小学高年级，很大很大的数也能数(shǔ)。这也是归纳能力的表现。二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2019年8月26日星期一可能有3个问题：一是不太清楚儿童是有归纳能力(不完全归纳)；二是不太清楚不完全归纳的珍贵；三是不太清楚在加强收敛性训练、演绎训练的同时，不仅不应磨损了儿童的归纳品质，而且还继续关注他们在这方面的发展。二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei怎么算?只要舍得花时间，一个个加就是了；如果要加到9999，时间上也花不起了。高斯小时候就有一个办法，两头相加，1+99=100，2+98=100，这样，首尾共有49对，还有中间一个50不与什么数搭对了，于是结果马上出来了：49×100+50=4950，二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei与高斯同样的思想，任何等差级数的求和都容易了，特别是正整数列求和：。平方数求和呢?通常见到的是，一下子公式就给出来了：随后便要求用数学归纳法证明。2)1(321nnn6)12)(1(3212222nnnn二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei，，，这似乎还看不出什么来。我们还作些观察，并列出一个表来看，为了方便，我们使用两个记号：，52122143212223043212222nSn321122222321nSn二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei我们看到了第8项，似已(由不完全归纳)看出，这样，似可得到31212nSSnn6)12)(1(31212nnnSnSnn二、数学直觉的作用12345678136101521283615143055911402041nnS1nS2nnSS12353739311313315317上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei数学归纳法其所以是必要的，是因为它的逻辑严谨，是进一步的可靠性保证，它的证明所包含的两个步骤是必不可少的，还要强调的是：少了一步都有危险。完全归纳与不完全归纳相互联系，相互依赖，各有优点又各有缺陷。不完全归纳的优点是发现，开拓，思维形式多样、活泼。缺陷则在它的严谨性、可靠性上尚有疑问。两者皆可贵，两者联合起来更珍贵。二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei类比是不能登上论证推理的大雅之堂的，可是，类比是非常重要的发现式思维，非常重要的创造性思维。它和不完全归纳一样，虽不属于论证推理，但它们都属于似真推理，它们不最后确证真理，却是逼近真理的必要途径之一。(不完全)归纳由个别(或特殊)去发现一般(或普遍)，类比则是由此去发现彼或由彼去发现此。归纳是发现同类事物之间的联系，类比是发现不同类别之间的联系。归纳和类比都是想象的具体形式。二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei是一个发散级数(其和不存在，或为无穷大)，但是的情况则不同。又恰是上面那个发散级数给人以启示，人们得到结论：当时发散，而当时它是收敛的。特别，当时，即级数是收敛的。n131211xxxn1312111x11nxn1x2x222131211n二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei欧拉不愧为伟大的数学大师，当然也可称他是一位善于归纳、类比的大师，他还是一位善于创造性地运用符号的大师(使用最经济有效的符号表达)。就在前一个求和的基础上，他还探讨了以下级数的和：这个和是。而且他还猜测(是某个正整数)。444131211n904pnmnm2121p二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei2.直觉虽然我们可以把直觉明确叙说为直接的觉察，但似乎也不能给人以明晰的感觉：直觉究竟是什么？然而，我们可在进一步的具体讨论中去把握。直觉是指对事物直接的觉察、领悟甚至是印象。“这个人看来不是个好人。”为什么？“凭我的直觉。”说不出很明确的理由来。日常生活中的这种直觉多的是。数学直觉则是指对数学对象或问题(性质、关系或结构)的直接领悟或觉察。二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei1617年，笛卡儿还在军营里服役，但服役期间就经常思考数学问题，并解决过一些问题。1619年11月10日，他带着一系列思索入睡了，一连作了几个梦，这天晚上他感到自己“发现了一种不可思议的科学的基础”，笛卡儿后来说：“第二天，我开始懂得这惊人发现的基本原理”。笛卡儿1619年的这一直觉发现，于1637年出版《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书，时隔18年，直觉作了先导。二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei1880年，庞加莱在寻求单复变自守函数的变换方法时，进行了长时间的工作，但毫无所获，有一天，他决定暂时把工作搁下来，去乡下旅行，然而当他刚登上车时，一个新颖的思想突然闪现，问题的答案可能就是那个非欧几何变换。伯克利数学研究所所长开普兰斯基在谈到自己的体验时说：“当一个难题纠缠你时，你会在长时间内一无进展。有时某些东西数月甚至数年被你忽视，而后你突然间有了意想不到的发现，可你却不知道它是从什么地方冒出来的。”二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei3.直觉的特性心理学上，把直觉分为三个层次：直觉判断，猜测，洞察；从直觉的不同特点看，直觉又分为辨识直觉、关联直觉、审美直觉；从对直觉形成的不同理解上看，又可分为综合型的、类推型的和选择型的。这里，我们所要讨论的是直觉的一些共同特点。(1)非逻辑性(2)偶然性，自发性(3)易逝性(4)情感性二、数学直觉的作用上一内容下一内容回主目录返回Zhazhongwei这些特点对增强自己直觉能力有许多实际的、具体的启示：a．当你百思不得其解时，有意无意地搁置一下，去做做别的事情，这种转换期间获得灵感的可能性是存在的。b．当你持久的思索仍找不到答案的时候，暂时忘却它，可能还会增加产生其他联想的机会，不仅