数学与人的发展

第三讲:数学与人的发展数学作为一门课程进入学校已有2400年的历史了。柏拉图规定，不懂几何学不得进入他的哲学学校。说明那时就把数学学习与教育和做人联系起来了。现在全世界最普遍开设的教育课程就是数学，开设的时间是所有课程中最长的！人类是如何达成这一共识？又是如何确立了数学如此重要地位的呢？中国数学历史悠久，也曾达到过很高的水平，但中国的古代数学偏向于应用与使用。与中国古代数学形成鲜明对照的是古希腊数学所具有的强烈的理性色彩。古希腊数学更接近于世界观，接近哲学，接近人生，因而也更接近人文学。所以数学作为人类的思想产品，获得了极高的地位。数学与人的发展近代中国的教育观念中，还继承着老祖宗的某些传统。过分强调感性、实用性和目的性。数学只作为一种工具来学习和掌握。所谓“有没有用”的“用”，其含义更多的是对某个学科专业的实用性，而不包含对人的发展的作用。实际上，数学与其他学科的相互促进，使得数学的发展异常迅猛，用途的广泛性已经超出了人们的想象。实用主义降低了数学的作用，由于过分的强调，而使数学的人文作用处于一个几乎被忽略的地位。数学与人的发展数学与人的发展一、数学对世界观的影响二、数学与思维发展的关系三、数学对一般素质的影响世界观的形成是后天的。它与人的成长过程密切相关。世界观左右人的认识、观点与方法。其共性表现为：符合逻辑的、辨证统一的和纯理性的。数学家也不例外，他们在从事数学研究的同时，必定通过数学来看世界。反过来，他们对世界的看法也影响着其数学工作。从毕达格拉斯直到近代的伽利略、笛卡儿、开普勒一直认为世界是数的体现，世界是按数学公式运行的，宇宙的书本是按数学写成的。数与世界密不可分。不少数学家都是哲学家。数学依然是他们观察世界的不可缺少的武器,甚至是他们的世界观的基本成分。数学为何会具有这样的作用呢？数学家为何具有这样的特点呢？20世纪的数学家兼哲学家庞加莱说：“没有数学这门语言，事物间大多数密切的类似关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这种和谐正是惟一真正的客观现实......是我们所能达到的惟一真理。”实际上，出现的问题是数学与世界和谐的关系。如果说是数学发现了世界的和谐，则数学优先于世界观；如果说，世界的和谐是数学发现的，则世界观优先于数学。数学对世界观起到了作用。1、数学影响人们的逻辑思维数学的突出特点是讲究普遍联系的，最大特征是抽象，因而数学广泛存在于众多的事物中。事物与事物的联系多少靠什么来判断呢？靠的是共性与个性，或者称为内涵与外延。表面的东西通常反映的是个性，它会掩盖共性。数学抽象性的主要特征就是从个性中发现共性。个性“抽”的越多，就越在内涵的共同处考虑，就越能发现事物间的共性。内涵越少，外延越大。这是基本的逻辑结论.例如：速度、切线—导数—边际、变化率......例如：黄金分割0.618:广泛存在于人体、植物、动物繁殖、建筑、艺术、音乐......（主观性）问题是0.618是不是世界和谐的标志呢?人们发现了优选法（20世纪50年代、华罗庚）00.3820.6181实验点原则:去劣存优第一步:若在0.382点优,则在[0,0.618]继续实验;否则,在[0.382,1]上继续实验.共性:区间长度为0.618.第二步:在第一步的区间上用0.618×0.618和(1-0.618)×0.618作实验点,继续选择原则.共性区间长度为0.6182.如此继续下去,得到一个”区间套”:112200[,][,][,]0.6180.,.nnnnnnnabababbaabxx就是最优点。那么,为什么非得选择0.618呢.实际上,我们可以从任何两点出发也能得到x0.如果xn是第n次黄金分割实验后的点,而xn’是任何其他优选方法第n次实验后的点,那么|xn-x0||xn’-x0|所以在同样实验次数下,黄金分割是最好的方法.这也说明,最美丽的东西与最有用的东西一定是有联系的,主观与客观是相互起作用的.从公元前到20世纪的这个0.618把自然界各个方面类似的现象联系起来,把主观和客观的若干方面也联系起来,反映了某种和谐.2.数学最正确最客观地体现了辨证唯物主义思想,影响着唯物论的认识论.辩证唯物主义是讲联系,讲统一的.但有些论著或观点过分强调”本质联系”中的”本质”,犯了形而上学的错误.实际上,并不可能事先就确定何种联系是本质的,何种又不是,本质一般都是从联系中发现的,在联系中发现意想不到的本质相关,而不是事先就知道的.数学中的同构、同胚、同调、同论等一系列观念和方法把许多貌似不同的东西联系起来，通过这些联系发现了许多本质的内容。对应是一个极重要的观念，通过对应建立联系，通过联系由简单事物的结构去认识复杂事物的结构，从而看到了更多层次、更深入的联系。不是先知本质而后联系，而是先去联系，通过联系而进一步认识本质。fffff同构、同伦、同调、同胚......辩证唯物主义的世界观不一成不变的看问题，它特别看重事物的发展变化。数学在有了变数、有了微积分之后，更多地需要辨证逻辑的思考。微积分强有力地表现变化；同时，几乎任何变动的过程都需要微积分来表现或刻画；微积分更深刻地反映了世界，学习微积分也就帮助我们更深入地认识世界。与微积分相关的许多概念，例如：极限、各种不同的实数理论，对它们的理解也需要靠一般的形式逻辑。数学的研究对象是变量与常量.变与不变是辨证的关系.我们来看数列极限的定义.lim0,nnnxAx对的存在自然数N,使得nN时,有|意-A|任这里,“任意的”意味着变化,因此,ε0是变的.但是我们要说明数列以A为极限,只需要对每个ε0验证“存在...”这段话是对的就可以,而“每个”又意味着ε0在验证的过程中是不变的.如代数中的“恒等变换”，“恒等”意味着不变，“变换”意味着变化；在微积分及其相关学科中，也要通过各种变换来研究不变的规律和数量关系（拉普拉斯变换、傅立叶变换等），或者“以不变代变”。这就是辩证法!其意义之重大已使数学与世界观的核心部分的关系越来越紧密，与对世界本身的看法紧密相连。3、数学的纯理性是辩证唯物主义认识世界和预知世界的强大思想。唯物论的观点已经被有意或无意地曲解了。一个极端是认为认识必定来源于物质世界而且必定直接来自于物质世界；另一个极端是没有实践基础就要求人民解决思想问题，认为解决思想认识问题就解决了一切。数学科学的事实与发展排除了这两种极端。经典数学：数与形（物质世界：丈量、测地、记数等实际生活）近代数学：物质生活（工业、经济、社会......）纯理性思维：公理化体系（欧氏几何）产生了新几何；解析几何；各数学分支的建立。走向高度思维。高度思维在某个时候又走到现实生活中来更是唯物主义的体现。符合黑格尔所说被列宁所赞赏的“自己运动”(代数和几何)的意义。海王星的发现是由数学发现的。这是数学理性的一大胜利(预见来源与观察,又在观测中被证实)。1871年英国科学家发现了天王星，发现它的运行有些失常，与计算结果不符。问题的出现产生两种猜测：一是牛顿的万有引力定律有问题；一是还有其他因素在发挥作用（其它星的作用产生了“摄动”）。1842年，剑桥大学学生亚当斯按照第二种假设经过由运动轨道为“圆”到“椭圆”的理性思考，进行了大量的复杂的数学计算，于1845年10月21日将研究结果寄给格林威治天文台台长艾里，被不屑一顾。勒维列又寄给了巴黎天文台的加勒，告诉他在计算得到的位置观察。加勒当天（1846、9、23）果然发现了这颗新星——海王星。但水星的发现是在有了相对论之后才成功的。因为水星最靠近太阳，万有引力定律是近似的，越靠近太阳，其误差就越大。这一现象被另一理论所解释。辨证唯物主义能十分圆满地理解这种现象：预见来源于实际的观察，又在其后的天文观测中被证实。所以，没有观察就不会有随后的数学计算和推导，没有数学的理论和预见，就不会有随后自觉的定向的天文观测。这一过程经历了60多年！数学的纯理性显示了计算的重要性，但容易偏向于理性主义方面，而忽视了认识的本源；而数学的理论结果无法在实际中看到时，就容易偏向于依赖直感的直接反映论方面，而忽略了理论的能动作用。对任何一方面的过分强调都更容易给数学以神秘色彩。但是，全部的数学事实还是能使我们获得完整的世界观和科学的方法论，尽管我们仍然可以用神奇、奥妙一类的词来形容数学活动及其成就。世界观是由个人的各种经历决定的，世界观的形成并不先于各种学科知识的学习，它们是相互影响的。在我们的实际生活中，常常要求用正确的世界观指导学习，实际上，没有广泛而深入地学习并不会有正确的世界观。仅仅是弄懂一些数学定理和公式还不够，还需要有宏观、微观的思索和对历史和方法的分析。所以，只能说数学的学习为树立正确的世界观提供了一些积极的影响因子，提供了更大的可能性。