数学思想讲座-数学与思维发展的关系

数学与思维发展的关系人类的思维是后天形成的，思维受到各种因素的影响，并表现出多面性。但符合逻辑的、精密的、深刻的、聪慧的思维是每个人希望达到的最高境界之一。数学与数学教育如此受重视，不完全是因为其广泛的用途，也不能完全从应用的角度来看待数学。在上一讲中我们说明了数学能提供观察世界的一般观念和方法外，实际上数学对人的其他发展，尤其是对人的思维发展有不可或缺的作用和价值，数学是为人的更完美发展提供了良好训练。数学与思维发展的关系人们常把数学形容为思维的体操。培根说过，哲理使人深刻，诗歌使人聪慧，演算使人精密。其实数学不单单使人精密，数学同样也使人深刻，使人聪慧！哲学、诗歌——不要求每人都会数学——每人必须会1、归纳与完全归纳思维的一种形式是归纳。那么归纳性质的表征是什么呢？所谓归纳，是指通过对有限多个同类对象的观察分析，猜测一种共性或规律，并证明这种共性的确是正确的一种思维方法。当“同类对象”为有限多个时，我们将对象一一验证就可获得结论（对或错）；但当“同类对象”无法穷举或实际上就是无限多时，我们原有的思维方法就无法具有说服力了。因此必须寻找一种处理无限的思维方法.即在数学上所要求的完全归纳,确保其正确性.1、归纳与完全归纳我们熟悉的完全归纳法——数学归纳法。我们来看一些（非完全归纳）例子。2()11(1)13,(2)17,(3)23(,(4)31(1)0)1211111nffxxxffffnf二项式满足：都是素数，对那么是否可以下结语：显然不所有的，是素数？能。实际上就不是素数。1、归纳与完全归纳2222()72491()72490(72490)72490724907249172490272490172491()fxxxfnnnfnf对所有的，是素数有趣的是二项式满足：当时都是素数？，那么是否可以下结语：也不能。实际上就不是素数。1、归纳与完全归纳23242543211(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)(1)10,1,1nnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx在来看关于的分解式：是否可以下结论：的整系数分解式中，的系数只可能是呢？回答是否定的。1、归纳与完全归纳484746434241407221.xxxxxxxx105有一位老兄发现了x-1中有如下的一项：这说明，考察一组对象的性质或规律时，可能出错。究其原因在于对于“无穷多”的思维方式不能按照“有限多”方式来处理，否则容易出现问题。这种方法通常成为不完全归纳。1、归纳与完全归纳数学对归纳的完全性是要求十分严格，其意义不仅对所有的自然科学是重要的，而且对人文社会科学也是重要的。借鉴数学思维的严格性，可以大大提高社会科学学科的科学性。以例带证的方法属于不完全归纳，显然不能令人信服。目前许多社会科学学科还是按照这种方式来解释其命题，科学性显然要遭到质疑。社会科学；实验学科；2、逻辑思维的代表：演绎当归纳具有完全性时，其方法可以说属于逻辑的范畴了。逻辑思维的代表之一是演绎思维。演义思维最早来自几何学，其影响之广泛使得人们特别看重演绎科学的地位。实际上，一门学科是否为成熟的是以它是否已形成一套演绎体系（公理体系）为标志的。数学的这一特点是与它极强的逻辑性和抽象性紧密联系在一起的。2、逻辑思维的代表：演绎抽象：强抽象弱抽象。任意四边形凸四边形梯形平行四边形矩形菱形正方形2、逻辑思维的代表：演绎例子：函数概念的演变过程。17世纪：幂函数（多项式）的代名词。18世纪：表达式（初等函数）。欧拉给出了y=f(x)的表示。初等函数——非初等函数（级数、积分表示）——解析表达式（一个式子）——分段函数（伪函数，柯西引入了“对应”术语，但还是解析式子）——Dirichlet函数：Dirichlet函数不但从表达式上突破了解析式的限制，而且还对“凡函数至少在一点连续”提出了挑战。0()xDxx当为无理数时1当为无理数时2、逻辑思维的代表：演绎虽然这个表达式是认为构造的，带有主观性质，但它却推动了人们对函数本质的客观认识。这也反映了认识论中的基本内涵。主观判断主观事物一定要小心，不要把主观臆相混同于主观构想。科学需要主观构想的。2()lim(lim(cos!)).nmnDxmx但是2、逻辑思维的代表：演绎Dirichlet函数——对应规则（何为对应？）——有序对（x,y）（新概念）——集合函数（泛函）——广义函数（δ函数）——......上述过程实际上就是演绎思维弱抽象的例子.2、逻辑思维的代表：演绎再以函数为例给出强抽象的例子.连续性问题解决后,出现了可微性问题.f(x)=|x|是连续但在0点不可微的例子.问题:连续函数至少有一个可微点?Weiestrauss构造了一个处处连续但处处不可微的例子,这个例子让数学家惊叹:直观似乎告诉我们不可能有这种函数,直观欺骗了我们.03()cos(),01,1.2nnnfxbaxabab是奇数，2、逻辑思维的代表：演绎函数——连续函数——不可微函数——处处连续处处不可微函数。强抽象过程。但抽象性依然很强。数学的抽象方法很多，需要学习和实践逐步加深了解，在你领会的同时，抽象思维能力就得到了加强和提高。需要说明的是，逻辑思维是抽象思维，但抽象思维不一定是逻辑的。数学的逻辑性特点使得数学训练直接有利于发展人的逻辑思维，其作用特别突出。