3.1不等关系与不等式(1)

2020年5月16日星期六(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第一宇宙速度,且小于第二宇宙速度(2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带物品------杆状物不超过200cm,重量不得超过20kg(3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩问题:上面的不等关系是用什么不等词表示的?请你举出生活中的一些不等关系的例子一.生活中的不等关系(2)中国神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度()不小于第一宇宙速度(记作),且小于第二宇宙速度(记).2v12vvv1vv(1)右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.0v≤4040(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.%3.2p%5.2f二.用不等式(组)表示不等关系我们用数学符号“≠”，“”，“”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.思考一下什么是不等式？课堂练习1：用不等式表示下面的不等关系：1.a与b的和是非负数；2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”3.在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系a+b≥00h≤4(10)(10)350,400LWLWLW5m5m5m5m问题1.设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则ABBBdod≤|AB|.问题2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？思考(1)销售量减少了多少?万本2.01.05.2x万元x)2.01.05.2x8(2.01.05.28x(2)现在销售量是多少?(3)销售总收入为多少?2.5(80.2)200.1xx解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：万本2.01.05.2x因此，销售总收入为：万元x)2.01.05.2x8(用不等式表示为：2.5(80.2)200.1xx问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍请思考:(1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等关系.(2)用不等式（组）表示上述不等关系.分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？(3)截得两种钢管的数量都不能为负.(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍；(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：0y0xyx34000y600x500考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈Nx,y∈N课堂练习21.有一个两位数大于50而小于60,其个位数字比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系1.分析:设个位数字为,十位数字为,则ab50106020909baababaNbN2.2008年春节前夕，我国南方大部分地区遭受特大雪冻天气.灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.若该班除小李外共有x人,这笔开学费用共用y元,用不等式(组)表示上述不等关系.2.分析：该班除小李外共有x人，这笔开学费用共y元，则：1284101140*xyxyxyxN我们用数学符号“≠”，“”，“”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式.数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.BAxO在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：（1）点A和点B重合；（2）点A在点B的右侧；（3）点A在点B的左侧.在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由此可得到结论：对于任意两个实数a和b，在a=b，ab，ab三种关系中有且仅有一种关系成立.如果a－b是正数，则ab；如果ab，则a－b为正数；通常，“如果p，则q”为正确命题，则简记为，读作“p推出q”.pq如果a－b是负数，则ab；如果ab，则a－b为负数；如果a－b等于零，则a=b；如果a=b，则a－b等于零.如果都是正确的命题，记为读作“p等价于q或q等价于p”.pqqp且pq上述结论可以写成：0abab0abab0abab判断两个实数大小的依据是：000abababababab作差比较法这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.例1．比较x2－x与x－2的大小.解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2=(x－1)2+1，因为(x－1)2≥0，所以(x2－x)－(x－2)0，因此x2－xx－2.比较两个数(式)的大小的方法:作差,与零比较大小.练习1.比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．解:∵(3)(5)(2)(4)aaaa22(215)(28)7aaaa∴(3)(5)(2)(4)aaaa0∴(3)(5)(2)(4)aaaa例3解:.21loglog21.0,1,0的大小与比较且设tttaaaa02)1(212ttt,21tt;21loglog21,1ttaaa时当;21loglog21,10ttaaa时当证明:∵()()()bmbbmaambamaama例4已知abm、、都是正数,且ab,求证:bmbama()abmaabbmama()()mabama∵abm、、都是正数,且ab∴0,0,0,0mmaaab∴0bmbama∴bmbama若ba,结论又会怎样呢?课堂练习:1在下列各题的横线中填入适当的不等号.22212(32)_____626;(32)____(61);11______;52650____log.abab12⑴⑵⑶⑷若，log3x12xx2.比较与的大小.解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1=x2(x－1)+(x－1)=(x－1)(x2+1),∵x2+10，∴当x1时，x3x2－x+1；当x=1时，x3=x2－x+1，当x1时，x3x2－x+1.思考：当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小.解：(px+qy)2－(px2+qy2)=p(p－1)x2+q(q－1)y2+2pqxy.因为p+q=1，所以p－1=－q，q－1=－p，因此(px+qy)2－(px2+qy2)=－pq(x2+y2－2xy)=－pq(x－y)2，因为p，q为正数，因此(px+qy)2≤px2+qy2.当且仅当x=y时，不等式中等号成立.1.不等关系是现实世界和日常生活中客观存在的广泛的数量关系，不等式是研究不等关系的数学工具，用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范.小结2.判断两个实数大小的依据是：000abababababab知识上,本节课我们主要学习了如何将实际问题中的不等关系表示成不等式.方法上,用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时，(1)要先读懂题,设出未知量（2）抓关键词，找到不等关系(3)用不等式表示不等关系.思维要严密、规范.