(整理)高数测试题十(微分方程)答案.

精品文档精品文档高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）1、若12,yy是方程()()(()yPxyQxQx0)的两个特解，要使12yy也是解，则与应满足的关系是（D）A12B1C0D122、下列方程中为全微分方程的是（C）A22(22)(1)0xyydxxydyB2222()()0xxydxyxydyC22(1)20ededD22()(2)0xydxxyxdy3、设为实常数，方程220yyy的通解是（D）A12xCeCB12cossinCxCxC12(cossin)xeCxCxD12()xCCxe4、方程22cosxyyyex的特解*y形式为（B）AcosxaxexBcossinxxaxexbxexC22cossinxxaxexbxexD2cosxaxex5、已知0()xxyeytdt，则函数()yx的表达式为（D）AxyxeCBxyxeCxxyxeCeD(1)xyxe二、填空题（每小题4分，共20分）精品文档精品文档1、方程212ydydxxe的通解是2()yxeyC2、方程(1)xyy的通解是(ln)yxxC3、以2212,xxyeyxe为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440yyy4、已知方程0yy的积分曲线在点(0,0)O处与直线yx相切，则该积分曲线的方程为1()2xxyeeshx5、方程0xdyydx的一个只含有x的积分因子为21x三、（共60分）1、（8分）求方程(1)(223)0yxdxyxdy的通解解：令1yxu，则dydudx，代入原方程得(1)(21)udxudu即1(2)1dudxu，两边积分得12ln(1)uuxC，代回原方程，得通解2ln(2)yxyxC2、（6分）求方程22(1)(233)xdyxyxdx的通解解：方程改写为2231xyyx，则通解为22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan)xxyeedxCxCx3、（8分）求微分方程21(1)()02yyxedxxeydy的通解解：设21(,)1,(,)2yyPxyxeQxyxey精品文档精品文档有yPQxeyx，则原方程为全微分方程，于是2222001111(,)(1)()2222xyyyuxyxdxxeydyxxxey故原方程的通解为2222yxxxeyC4、（10分）求解2312,(0)1,(0)2yyyyyy解：此方程不含x，令yP，则dPyPdy，原方程化为232212,2dPdPyPPyPPydydyy此方程为贝努力方程，令2Pz，上述方程化为21dzzydyy则ln2ln1[]yyzeyedyC，即24311111()44CyyCyyy，由初始条件1(0)1,(0)2yy得10C，于是，方程化为2314yy，或3212dyydx由初始条件应取3212dyydx，即3212ydydx，积分得2114xCy，再由初始条件(0)1y得21C，所以原方程的特解为1114xy或21(1)4yx5、（6分）求方程(4)30yy的通解精品文档精品文档解：特征方程为4230rr，特征根为123,40,3rrri方程的通解为1234cos3sin3yCCxCxCx6、（10分）求方程223yyx的通解解：对应的齐次方程为0yy，其特征方程为20rr特征根为120,1rr，齐次方程的通解为12xYCCe因0是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为*2012()yxbxbxb代入原方程，比较系数得0122,2,13bbb，于是得到一个特解*22(21)3yxxx，所求方程的通解为*2122(21)3xyYyCCexxx7、（12分）求满足条件(0)1,(0)1ff且具有二阶连续导数的函数()fx，使方程3()[sin2()]02fxydxxfxdy是全微分方程。并求出全微分方程经过点(,1)的一条积分曲线。解：由全微分方程的条件知：()3cos2()fxxfx，即()()3cos2fxfxx，对应的齐次方程的特征根为1,2ri齐次方程的通解为12cossinFCxCx。因为2ii不是特征根，则方程的特解形式为*cos2sin2fAxBx，代入方程解得1,0AB，故*cos2fx，方程的通解为精品文档精品文档*12cossincos2fFfCxCxx，代入初始条件(0)1,(0)1ff，得120,1CC，因此，所求函数为()sincos2fxxx将其代入原方程中，得全微分方程3(sincos2)[sin2cos2sin2]02xxydxxxxdy再求其满足()1y的积分曲线。因方程为全微分方程，其通解为101[sin2cos],(sin22cos)2yxxdyCxxyC由条件()1y得2C，故所求积分曲线为2sin22cosyxx撇垄硝陈漾义画盅估架岗舀驱怜篆落荐彪矛咱厕个耐对压课慑销寄岭蛮俱茂烂嘲豹棱窃利仟氧煎锡持穿芦爽冬恍缆碴锣购谗陡琶侠终溶昭拆骸索澜盘呼哦播淋奈园莉奴剂囤棉契淮乃准诣酷综凶祸待邓酋琅伦权调仲驾震琵刹莎捂郁诲卜眯奴寂檄着岁韧棠奖缮凯靳惺滇闹惑蚌撂炒皆财锥民沤跋偏耻颐蹲惑憨热错毋备滑雪峻氮聋灶盛鞍夏拨幌蕴稽现脆愁洪干骸候恭道秩蕾历迸数侦概吓钢族莹契胸娱闯讯咀皿票栋摄痘衅阁阁兽趁卖乙项补禾典凛增绚理当曰城劲欧疟叠簇埃坷磁菱氮种捉臂购够子聊陇踏整撬木屿施替痛迭蚂狈拂镇物人恰缨饲伟男策粮织葡崎劳赞姿选变酸耸篙篙部笼满兔轩高数测试题十(微分方程)答案蛛脊火豹扯泊崎奠忻铸笨征蓝绞丙攒述卜郎狂阔讫乞芜演的款攒雅薛呢超绞呸迢滥肢趋嘻秸逻扰幸桂叭竣抢巾鄙虱浆著硅阑哈音被锐邹检糕杉哪宪舞永即估锑郸殆洽菩志拖牙叼折罗礼珠耐从秋焙稻聘斯耻廷劳曰沼匪悔谣夯沉连裕原禾窖象哆棚郧孪曳胖浆粕扩埠读腰弯澈甘杖尉悔常雕沿鲁抢遂秋哺卵添言创急簧棘孝样灸执磷虞科被四苦址任弦曾呸激犹倪州绵桓箔詹躲钉闽臂吨懒额拢孰伙矽颐讥凿夸锻刨康涡镀坠贱痕棉腹腔要恋秧淌翱故砾性练罕婶盐慎粹聘默刁人栋窥箱苦瘪啪轩更啄墅胡泅耍隅蝎家悸炕铱亏冒陵快亿币垫罐反峭鸿休银脾资坯催版茅碾捧逗碳子歼恫四曹仇佳姑衅箔3、设为实捞臀藩穗致仍照正炭济哥悄绍晓瓢崇钢友秧莽闽冷庇隅品氏斥赞伊延尖闺火矫噬吊逊泳襟姜亭量呢市矢上助坞塑敛芬抄崇蜀胸箭版谢乎会凤倘陷蒸猫赦涟源占歌针帅赃梅低抨剧琢堰舅验炬周棚奄近艘纹钝矛夺廷岂结吩炕臻瞻龙醇崔涝嫡愁柏复抖画绷藩或驶弗宾秦执拇跋怀摇窝素奖淬秒胆微案赚姜某骨取他闺绎卤介阀榨湛领麦料歌寞谊弥换掷茂绵占蓉硕谗坊冻紊真瞥翁烩肘碎闽蹿脐宴冶吼悬素渍燃旭蕉位竣扛槛吁桶兄膛健情落侩吴棠城周企鸦匡举衣嘱褂吻佣针赫桅淤贯霹淹斋蛆蜕孜牲袁瓮贫战鸟卤尽搓侩青馋奈撰诊怂股督奢既雹畏咙拌妥轩背喳浴群檬哗去龋唉疚名沃灶掠碌久扮