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线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。已知:线段AB，直线EF⊥AB，垂足为O，AO=BO，点P是EF上异于点O的任意一点．求证：PA=PB．ABPEFO证明：∵EF⊥AB(已知)，∴∠POA=∠POB=90°(垂直的定义)。在△PAO和△PBO中，AO=BO(已知)，∠POA=∠POB(已证)，PO=PO(公共边)，∴△PAO≌△PBO(SAS)。∴PA=PB。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。这个命题的逆命题是什么？到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。已知：如图，P为线段AB外的一点，且PA=PB。求证，点P在线段AB的垂直平分线上。FABPEO∴点P在线段AB的垂直平分线上。证明：过点P作直线EF⊥AB，垂足为O，则∠POA＝∠POB＝90°(垂直的定义)。在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA＝PB(已知)，PO＝PO(公共边)，∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)。∴AO＝BO(全等三角形的对应边相等)。∴EF是线段AB的垂直平分线(线段垂直平分线的定义)。线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。复习线段垂直平分线的画法步骤一：分别以点A、B为圆心，以固定长（大于AB长的一半）为半径画弧，两弧分别交于点E、F。步骤二：过点E、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。例1已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC;BACMNM’N’PPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上分析：证明：∵点P在AB的垂直平分线上（已知）∴PA=PB（线段垂直行分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）∵点P在BC的垂直平分线上（已知）∴PB=PC（线段垂直行分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）∴PA=PB=PC例2已知：在ΔABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC。求证：点O在BC的垂直平分线上。ABCON∴点O在BC的垂直平分线上。（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）证明：连结OB。∵ON是AB的垂直平分线（已知）∴OA=OB（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等）∵OA=OC（已知）∴OB=OC（等量代换）浦东新区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC实际问题BAC线段的垂直平分线求作一点P，使它和已△ABC的三个顶点距离相等.实际问题数学化pPA=PB=PC实际问题BACP作法：1、作BC边的垂直平分线EF，EFGH2、作AB边的垂直平分线GH，3、直线EF、GH相交于点P则点P就是购物中心的位置。已知：如图，在RT△ABC中，∠=900，AB=3，AC=5，BC边的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，求△ABE的周长。课堂小节：1、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。